[공학용 계산기] 괄호( ) 를 마스터하라! (부제: 공학용 계산기 결과가 틀리는 가장 흔한 예)
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- 2024.10.26 - 17:59 2015.11.24 - 20:45 11776 10
이 글은 수식을 계산기에 입체적으로 입력하는 상황에는 적용되지 않습니다.
구형 계산기를 사용중이거나 수식을 한줄로만 입력하는 경우라면 반드시 알아야 하는 내용입니다.
1. 공학용 계산기 결과가 틀렸다구요?
을 계산기에 입력해 보세요. 【1】【÷】【2】【×】【3】 를 눌러서 = 3/2 = 1.5 로 나오나요? 좋습니다.
그럼 다른 식인 을 계산기에 입력해 보겠습니다. 이번에도 【1】【÷】【2】【×】【3】 으로 입력하셨나요?
어랏? 앞의 입력과 똑같네요? 당연히 결과도 1.5 로 같구요.
대체 뭘 빼먹은 걸까요? 계산기는 왜 내 마음을 몰라주는 걸까요?
[괄호를 빼먹어서 틀리는 가장 흔한 예]
- 원하는 계산 결과
└ 예시 - [fx-570ES]
- 문자를 포함한 수식일 때
결과 ⇒ 
※ 곱하기가 생략된 계수*문자의 꼴로 나눌 때는 계산기마다 처리 방식이 다를 수 있습니다.
2. 계산기가 괄호를 원하는 이유
일반 계산기는 사치연산의 순서를 무시하고 앞에서부터 계산을 합니다. 반면 공학용 계산기는 사칙연산을 수학적 순서에 맞게 그럭저럭 잘 수행해 냅니다. 기특하긴 하지만, 그렇다고 사용자가 원하는 내심을 알아채는 기능은 없습니다. 사람이 기계에 맞춰 주어야 하는 이유가 여기에 있습니다.
종이 위에 표현되는 수학식에는 숫자나 기호의 "크기", "두께", "기울기", "공간 간격", "높고낮음" 과 같은 입체적인 정보들이 포함되어 있습니다. 사람이 읽을 것을 가정하고 적은 수학식에는 이러한 입체적인 정보들이 있어서, 많은 것이 생략되더라도 사전에 동의된 약속에 맞게 해석하면 오해없이 의미를 전달할 수 있습니다.
하지만, 공학용 계산기로 수식을 전달할 때는 "(한정된 갯수의) 키 버튼"과 "(버튼의) 입력 순서"라는 아주 평면적인 조합만으로만 메시지를 만들어야 하기 때문에, 생략된 정보를 추가하지 않고서는 그대로 계산기에 입력할 수가 없습니다. // (계산기의 발전에 따라 종이 위에 수식을 적는 것과 같은 입체적인 수식입력이 가능해지는 추세입니다)
수학적 수식에서 생략된 정보를 계산기에 추가입력할 때 가장 중요한 것이 바로 괄호 묶음의 추가입니다.
괄호의 지정이 없을 때, 계산기는 미리 설정되어 있는 계산순서(= Order of Evaluation)에 따라 계산을 진행하게 되는데, 그 진행을 바꾸고 싶다거나, (익숙하지 않아서) 계산기의 계산순서가 확실하지 않다고 판단될 때에는 괄호를 추가해서 원하는 순서대로 계산을 진행할 수 있도록 계산기를 거들어 주어야 하는 것입니다.
3. 계산기에서의 괄호 원칙
- (입력순서 지정기호로서) 괄호는 모두 소괄호 ( ) 로 통일합니다.
중괄호{ }와 대괄호[ ]는 공학용 계산기에서 다른 기호로 사용되기 때문에 순서지정 기호로 사용할 수 없습니다.
- 분모, 분자, 지수, 밑(base), 인수 등 한줄입력과 친하지 않는 경우에는 가급적 괄호를 쳐주는 것이 좋습니다.
- 수학적으로 허용되는 표현인 sin2θ 는 (일반적으로) 계산기에서는 입력이 허용되지 않습니다. 따라서 그 대신에 (sin(θ))2 꼴로 입력해야만 합니다.
일부 계산기는 이러한 오류를 사전에 막기 위해 삼각함수 뒤에 여는 괄호를 강제로 붙여서 출력하기도 합니다.
ㄴ 이런 계산기에서 괄호는 삼각함수와 한 덩어리라서 괄호만 따로 삭제(del)할 수 없습니다.
3. 괄호의 생략 가능성
괄호가 많으면 많을수록 계산 순서가 명확해지므로, 순서와 관련된 계산오류가 줄어들 수 있습니다. 계산기에게는 괄호가 많을수록 좋지만, 사람은 꼭 그렇지만은 않아서 괄호 때문에 입력하는데 시간도 오래 걸리게 되고, 괄호갯수가 맞는지 괄호들을 이리저리 짝지어보느라 시간이 배로 걸리는 경우도 생깁니다.
그래서 생략 가능한 괄호의 경우 생략하는 것이 사람 입장에서는 유리합니다. 계산기 내부의 계산순서(= Order of Evaluation)를 완전하게 파악하면 생략 가능한 괄호를 쉽게 파악할 수 있습니다. 이것은 시행착오를 통해 알게 되는 부분인데, 계산기 입문 초반에는 가급적 괄호를 많이 쳐 보다가, 조금씩 생략해보시는게 좋겠습니다.
계산 우선순위는 대부분의 경우 계산기별 차이가 없습니다만, 그렇다고 모든 계산기가 같은 계산순서를 따르지는 않습니다. 한 회사의 계산기에서도 서로 다른 결과값을 보여주는 사례가 있으니, 오류를 줄이기 위해서는 미리 계산기 특성을 파악해 두시는게 좋습니다.
(계산기 사용설명서에 이런 내용이 분명하게 나와 있습니다)
계산기 입력시 생략 가능한 괄호
- 괄호 뒤에 숫자등 수식이 없을 때 ▶ 식의 마지막 닫는 괄호(들)
- 괄호 안 숫자가 단독 ▶ 예를 들면 (1.234) 의 괄호
괄호의 효율적인 입력은 계산기 마스터로 가는 첫번째 관문입니다.
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댓글10
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세상의모든계산기
수식입력 템플릿
최신 계산기들은 입체적인 정보를 받아들일 수 있는 수학적 template 들을 갖춰가는 추세입니다.
하지만 template 을 이용한 입력은 입력 속도의 저하로 이어져 장단점이 모두 있다고 할 수 있습니다.
└ TI-nspire 수식 입력 템플릿
└ HP Prime 수식입력 템플릿 -
세상의모든계산기
위에 식이 3가지 있습니다. 각각의 식을 질문하신 수식처럼 한줄로 표현해 보세요.
3개의 수식이 모두 다르게 표현되시나요?
다시 질문으로 돌아가서, 질문하신 식(2×10^-6/8.855×10^-12×2.5)을 위에 예시한 식1~식3 중에서 어떤 것으로 해석해야 옳은 걸까요?
계산기가 본문 한줄수식을 입력받았을 때, 식1~식3 중 어느 한가지로만 해석하도록 설계되어있습니다. 그 답이 본인이 원하는 답이 아니라면, 식을 설계에 맞게 입력하지 못한 것입니다.
계산기가 내가 원하는 대로 정하게 식을 이해하도록 식을 정확하게 입력해 주어야 합니다. 핵심은 계산의 우선순위이고, 문제를 해결할 열쇠는 괄호에 있습니다.
((2*10^(−6))/(8.855*10^(−12)*2.5)) = 90344.438170525
여기서 몇개의 괄호(쌍)은 계산기에서 생략해도 계산 결과를 얻는데 문제가 없습니다. 최적(최소)의 괄호입력으로 계산기에 입력하는 방법을 터득하시길 바랍니다.
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세상의모든계산기
- △H = 2.3 × (괄호안)^(1/3)
- 괄호안=(분자)÷(분모) 이므로
- 두개를 결합하면 최종 식이 됩니다.
△H = 2.3 × ((109.06)÷(5*5.19*10^(-4)))^(1/3)
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세상의모든계산기
어지간한 공학용 계산기라면 위 수식 그대로 입력하면 답이 나올텐데요.
단, 0.12 앞에 생략한 곱하기는 넣으시는게 좋겠습니다.
원하는 답이 아니라면 아래 글을 읽어보시고 조금 더 정확한 질문을 해보시는게 좋습니다.
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세상의모든계산기
괄호와 Syntax Error
구형 한줄 계산식의 경우 괄호를 잘못 사용하면 두가지 에러중 하나가 발생합니다.
1. 원치 않는 (잘못된) 결과값
괄호 순서가 잘못되는 경우, 계산 우선순위가 달라져 결과값이 엉망이 될 수 있습니다.2. Syntax 에러
괄호 쌍이 맞지 않는 경우, Syntax Error 가 발생할 수 있습니다.
입체적 입력이 가능한 계산기에서의 Syntax Error
ㄴ 여는 괄호는 1 앞부터 시작하지만, 닫는 괄호는 e의 지수승 부분에서 끝나버림 --> syntax error
ㄴ
방향키를 한번 더 누르고 괄호를 닫아야 정상적으로 괄호쌍 완성됨.- 닫는 괄호는 (경우에 따라) 일부 생략될 수도 있으므로, 간혹 쌍이 맞지 않더라도 에러가 발생하지 않을 수도 있습니다.
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세상의모든계산기
삼각함수 뒤에 괄호를 어떻게 없애죠?
sin, cos, tan 함수를 입력하면
sin(, cos(, tan( 와 같이
그 뒤에 자동으로 괄호가 따라붙는 공학용 계산기가 있습니다.
이런 계산기에서 괄호를 지우려고 하시는 분이 계시는데요,
괄호를 지우려고 하시는 건 아마도
ⓐ 역함수 $ sin^{-1}() $ 이거나 ⓑ n제곱 $ sin^{2}() $ 두가지 이유에서일 것 같습니다.
두 경우 모두 괄호를 지워야 할 이유는 없습니다.
ⓐ 역함수의 경우 sin 함수와 다른 arcsin 함수를 불러서 써야 하고 : https://allcalc.org/5308
ⓑ n제곱의 경우 괄호를 없애서 해결하는 것이 아니고, 오히려 (sin())^2 처럼 괄호를 하나 더 쳐서 해결하셔야 합니다.
세상의모든계산기 님의 최근 댓글
fx-570 CW 는 아래 링크에서 https://allcalc.org/56026 2025 10.24 불러오기 할 때 변수값을 먼저 확인하고 싶을 때는 VARIABLE 버튼 【⇄[x]】목록에서 확인하고 Recall 하시면 되고, 변수값을 이미 알고 있을 때는 바로 【⬆️SHIFT】【4】로 (A)를 바로 입력할 수 있습니다. 2025 10.24 fx-570 CW 로 계산하면? - 최종 확인된 결과 값 = 73.049507058478629343538 (23-digits) - 오차 = 6.632809104889414877 × 10^-19 꽤 정밀하게 나온건 맞는데, 시뮬레이션상의 22-digits 와 오차 수준이 비슷함. 왜 그런지는 모르겠음. - 계산기중 정밀도가 높은 편인 HP Prime CAS모드와 비교해도 월등한 정밀도 값을 가짐. 2025 10.24 HP Prime 에서 <Home> 73.0495070344 (12-decimal-digits) // python 시뮬레이션과 일치 <CAS> 21자리까지 나와서 이상하다 싶었는데, Ans- 에서 자릿수를 더 늘려서 빼보니, 뒷부분 숫자가 아예 바뀌어버림. 버그인가? (전) 73.0495070584718691243 (21-digits ????) (후) 73.0495070584718500814401 (24-digits ????) 찾아보니 버그는 아니고, CAS에서는 십진수가 아니라 2진수(bit) 단위로 처리한다고 함. Giac uses 48 bits mantissa from the 53 bits from IEEE double. The reason is that Giac stores CAS data (gen type) in 64 bits and 5 bits are used for the data type (24 types are available). We therefore loose 5 bits (the 5 low bits are reset to 0 when a double is retrieved from a gen). 출처 : https://www.hpmuseum.org/cgi-bin/archv021.cgi?read=255657 일단 오차를 놓고 보면 16-decimal-digits 수준으로 보임. 2025 10.23 khiCAS 에서 HP 39gII 에 올린 khiCAS는 254! 까지 계산 가능, 255! 부터는 ∞ fx-9750GIII 에 올린 khiCAS는 factorial(533) => 425760136423128437▷ // 정답, 10진수 1224자리 factorial(534) => Object too large 2025 10.23