[공학용 계산기] 계산기의 가장 큰 수는? 자릿수 한계 (feat. 팩토리알)
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- 12시간 전 2015.08.14 - 14:11 2609 11
1. 계산기별 factorial 계산시 결과
| Factorial | ~69! | 70!~449! | 450!~1006! | 1007!~3248! | 3249!~ |
|---|---|---|---|---|---|
| EL-509W | O | X(Error 2) | X | X | X |
| fx-570ES, EX | O | X(Math Error) | X | X | X |
| fx-9860G | O | X(Ma Error) | X | X | X |
| TI-nspire, 89T | O | O | X(450!) | X | X |
| HP Prime | O | O | O | X(∞) | |
| 윈도우10 내장 | O | O | O | O | X(Overflow) |
* CAS 계산기인 HP Prime 이나 TI-nspire 와 같은 상급계산기는
정수에 한정하여 내부 유효 자릿수(14 digits)와 관계없이 가능한 한도 내에서는 자연수 결과(참값)를 유지하지만,
기타 공학용 계산기는 내부 유효 자릿수(보통 14자리) 이상이 되면 예외없이 참 값을 버리고
부동소숫점 형식으로 단순화해서 근사값으로 계산합니다.
* 참고
69! = 1.71122e+98
70! = 1.19786e+100
449! = 3.85193e+997
500! = 1.22014e+1134
1006! = 4.10908e+2585
1007! = 4.13784e+2588
2000! = 3.316275e+5735
3000! = 4.14936e+9130
3248! = 1.97363e+9997
50000! = 3.34732... × 10^213236
1. nspire에서 500! 이상을 이용한 계산은 표기만 될 뿐, 실제로 이루어지지 않음
2. 기존 윈도우 계산기는 그만둘지 물어보는 창이 나와도 백그라운드로 계속 계산하여 결국에는 계산이 되었지만, 지금(윈도우10)은 그냥 오버플로우 메시지만 띄움
2. 검증 (500! 계산시)
1) Wolfram Alpha
2) TI-nspire
ㄴ 입력한 ! 심볼을 그대로 결과에 표함시켜 표시되지만, 실제 계산이 불가능하며 오류가 유발됨.
3) HP Prime
계산도 되고, 저장도 되고, 연산도 잘 되는데...
지수형식으로 저장하면, 그보다 작은 수에서도 Inf (CAS 의 경우) 가 나옴.
-> 정수 저장공간(array)이 따로 설정되는 듯 하고,
지수 형식의 경우 Double Precision 제한 받는 듯 함.
-> Home 에서는 9.99999999999*E499 이상의 숫자 입력시 9.99999999999*E499 로 강제로 바뀜
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댓글11
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세상의모든계산기
울프람 신께서는 한계도 없는지 계속 결과를 뽑아내 주시는데... 맞는지 틀리는지 검증할 방법이 없어서 그만 뒀습니다.
의심은 불경한 짓인가?
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세상의모든계산기
fx-570 ES 로 70! (근사) 값 구하기
1. 70! 을 직접 구하면
2. ln(70!)의 근사값을 구함
ln(70!) ≈ 70*ln(70) - 70 + (1/2)ln(2*π*70)
3. 즉, ln(70!) ≈ 230.4378531...... 인데, 소숫점 지수형식으로 변환하려면
이 값을 ln(10)으로 나누면 됨. (밑이 10인 상용로그로 바뀜)
ln(70!)÷ln(10) ≈ 230.4378531......÷ln(10)
log(70!) ≈ 100.077888
70! ≈ 10^(100.077888) = 10^100 × 10^(0.077888) 이므로
최종 결과로
1.196432005 ×10^(100) 을 얻게 됨.
1.197857166997×10^(100) 과 비교하면 오차가 크리 크지 않음을 알 수 있음.
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세상의모든계산기
같은 방식으로 500! 근사값을 구해보면
1.219933487 × 10^(1134)
1.22013682599111006870123878542304692625357434280319284219241358838 × 10^(1134) (참값, 울프람 알파)
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세상의모든계산기
중간값 오류 가능성
http://kin.naver.com/qna/detail.nhn?d1id=5&dirId=50105&docId=236207580&ref=me2lnk
(최종결과값은 계산기 한계 이내일지라도)
계산식 중간에 계산기 한계를 넘는 중간결과가 발생하면
최종 결과의 오류로 이어질 수 있습니다.
이런 경우에는 계산 순서를 적절히 조절하여 한계를 벗어나지 않게 하거나,
단위를 줄여서(?) 계산하는 등의 편법이 필요합니다.예시)
A = 9.11*10^(-31),
B = (1.6*10^(-19))^4,
C = (4π*(8.85*10^(-12)))^2,
D = (1.054*10^(-34))^2
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세상의모든계산기
fx-9860GII 에서도 똑같은 증상
http://kin.naver.com/qna/detail.nhn?d1id=11&dirId=113111&docId=286373393 -
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세상의모든계산기
계산기 설명서에는 계산기에서 사용 가능한 숫자의 범위가 나옵니다. 이를 통해 몇 펙토리알까지 계산이 가능할지도 추정해 볼 수 있겠지요.
└ fx-5800p 설명서 중 발췌 ┘ -
세상의모든계산기
'왜 1.79769313E+308 일까?'
https://stackoverflow.com/questions/22402885/why-is-number-max-value-1-7976931348623157e308-instead-of-9007199254740992e102
바드 AI 에 물어보니
삼성 갤럭시 계산기 최대값이 1.79769313E+308 이던데 그 이유가 뭐야?
삼성 갤럭시 계산기의 최대값이 1.79769313E+308인 이유는 IEEE 754라는 부동소수점 표준을 따르기 때문입니다. IEEE 754는 컴퓨터에서 실수를 표현하는 방식을 정의하는 표준이며, 이 표준에 따르면 **'double precision'**이라는 형식으로 표현되는 실수의 최대값은 1.7976931348623157E+308입니다.
이유:
2진수 표현: 컴퓨터는 모든 정보를 2진수로 표현합니다. 실수를 표현하기 위해서는 가수와 지수라는 두 가지 정보가 필요합니다. 가수는 실수의 값을, 지수는 실수의 크기를 나타냅니다.
정밀도: IEEE 754 표준은 'double precision' 형식에서 가수를 53비트, 지수를 11비트를 사용하여 표현합니다. 53비트는 약 16자리의 10진수 숫자를 표현할 수 있으며, 11비트는 -308부터 308까지의 지수를 표현할 수 있습니다.
최대값 계산: 'double precision' 형식에서 표현할 수 있는 최대값은 2^53 - 1 (가수의 최대값) * 2^308 (지수의 최대값)입니다. 이 값을 계산하면 1.7976931348623157E+308입니다.
참고:
'double precision' 형식보다 더 큰 값을 표현할 수 있는 'quad precision' 형식도 존재하지만, 이 형식은 모든 컴퓨터에서 지원되는 것은 아닙니다.
IEEE 754 표준은 실수를 표현하는 가장 일반적인 표준이지만, 다른 표준도 존재합니다.
결론:
삼성 갤럭시 계산기의 최대값이 1.79769313E+308인 이유는 IEEE 754 표준을 따르기 때문입니다. 이 표준은 컴퓨터에서 실수를 표현하는 방식을 정의하며, 'double precision' 형식으로 표현할 수 있는 최대값은 1.7976931348623157E+308입니다.
세상의모든계산기 님의 최근 댓글
불러오기 할 때 변수값을 먼저 확인하고 싶을 때는 VARIABLE 버튼 【⇄[x]】목록에서 확인하고 Recall 하시면 되고, 변수값을 이미 알고 있을 때는 바로 【⬆️SHIFT】【4】로 (A)를 바로 입력할 수 있습니다. 2025 10.24 fx-570 CW 로 계산하면? - 최종 확인된 결과 값 = 73.049507058478629343538 (23-digits) - 오차 = 6.632809104889414877 × 10^-19 꽤 정밀하게 나온건 맞는데, 시뮬레이션상의 22-digits 와 오차 수준이 비슷함. 왜 그런지는 모르겠음. - 계산기중 정밀도가 높은 편인 HP Prime CAS모드와 비교해도 월등한 정밀도 값을 가짐. 2025 10.24 HP Prime 에서 <Home> 73.0495070344 (12-decimal-digits) // python 시뮬레이션과 일치 <CAS> 21자리까지 나와서 이상하다 싶었는데, Ans- 에서 자릿수를 더 늘려서 빼보니, 뒷부분 숫자가 아예 바뀌어버림. 버그인가? (전) 73.0495070584718691243 (21-digits ????) (후) 73.0495070584718500814401 (24-digits ????) 찾아보니 버그는 아니고, CAS에서는 십진수가 아니라 2진수(bit) 단위로 처리한다고 함. Giac uses 48 bits mantissa from the 53 bits from IEEE double. The reason is that Giac stores CAS data (gen type) in 64 bits and 5 bits are used for the data type (24 types are available). We therefore loose 5 bits (the 5 low bits are reset to 0 when a double is retrieved from a gen). 출처 : https://www.hpmuseum.org/cgi-bin/archv021.cgi?read=255657 일단 오차를 놓고 보면 16-decimal-digits 수준으로 보임. 2025 10.23 khiCAS 에서 HP 39gII 에 올린 khiCAS는 254! 까지 계산 가능, 255! 부터는 ∞ fx-9750GIII 에 올린 khiCAS는 factorial(533) => 425760136423128437▷ // 정답, 10진수 1224자리 factorial(534) => Object too large 2025 10.23 같은 방식으로 500! 근사값을 구해보면 1.219933487 × 10^(1134) 1.22013682599111006870123878542304692625357434280319284219241358838 × 10^(1134) (참값, 울프람 알파) 2025 10.23