[공학용 계산기] 계산기의 가장 큰 수는? 자릿수 한계 (feat. 팩토리알)
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- 2025.10.27 - 13:35 2015.08.14 - 14:11 2755 11
1. 계산기별 factorial 계산시 결과
| Factorial | ~69! | 70!~449! | 450!~1006! | 1007!~3248! | 3249!~ |
|---|---|---|---|---|---|
| EL-509W | O | X(Error 2) | X | X | X |
| fx-570ES, EX | O | X(Math Error) | X | X | X |
| fx-9860G | O | X(Ma Error) | X | X | X |
| TI-nspire, 89T | O | O | X(450!) | X | X |
| HP Prime | O | O | O | X(∞) | |
| 윈도우10 내장 | O | O | O | O | X(Overflow) |
* CAS 계산기인 HP Prime 이나 TI-nspire 와 같은 상급계산기는
정수에 한정하여 내부 유효 자릿수(14 digits)와 관계없이 가능한 한도 내에서는 자연수 결과(참값)를 유지하지만,
기타 공학용 계산기는 내부 유효 자릿수(보통 14자리) 이상이 되면 예외없이 참 값을 버리고
부동소숫점 형식으로 단순화해서 근사값으로 계산합니다.
* 참고
69! = 1.71122e+98
70! = 1.19786e+100
449! = 3.85193e+997
500! = 1.22014e+1134
1006! = 4.10908e+2585
1007! = 4.13784e+2588
2000! = 3.316275e+5735
3000! = 4.14936e+9130
3248! = 1.97363e+9997
50000! = 3.34732... × 10^213236
1. nspire에서 500! 이상을 이용한 계산은 표기만 될 뿐, 실제로 이루어지지 않음
2. 기존 윈도우 계산기는 그만둘지 물어보는 창이 나와도 백그라운드로 계속 계산하여 결국에는 계산이 되었지만, 지금(윈도우10)은 그냥 오버플로우 메시지만 띄움
2. 검증 (500! 계산시)
1) Wolfram Alpha
2) TI-nspire
ㄴ 입력한 ! 심볼을 그대로 결과에 표함시켜 표시되지만, 실제 계산이 불가능하며 오류가 유발됨.
3) HP Prime
계산도 되고, 저장도 되고, 연산도 잘 되는데...
지수형식으로 저장하면, 그보다 작은 수에서도 Inf (CAS 의 경우) 가 나옴.
-> 정수 저장공간(array)이 따로 설정되는 듯 하고,
지수 형식의 경우 Double Precision 제한 받는 듯 함.
-> Home 에서는 9.99999999999*E499 이상의 숫자 입력시 9.99999999999*E499 로 강제로 바뀜
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댓글11
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세상의모든계산기
울프람 신께서는 한계도 없는지 계속 결과를 뽑아내 주시는데... 맞는지 틀리는지 검증할 방법이 없어서 그만 뒀습니다.
의심은 불경한 짓인가?
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세상의모든계산기
fx-570 ES 로 70! (스털링 근사) 값 구하기
1. 70! 을 직접 구하면 ➡️ 한계값을 넘어서 ERROR
2. ln(70!)의 근사값을 구함
ln(70!) ≈ 70*ln(70) - 70 + (1/2)ln(2*π*70)
3. 즉, ln(70!) ≈ 230.4378531...... 인데, 소숫점 지수형식으로 변환하려면
이 값을 ln(10)으로 나누면 됨. (밑이 10인 상용로그로 바뀜)
ln(70!)÷ln(10) ≈ 230.4378531......÷ln(10)
log(70!) ≈ 100.077888
70! ≈ 10^(100.077888) = 10^100 × 10^(0.077888) 이므로
최종 결과로
1.196432005 ×10^(100) 을 얻게 됨.
1.197857166997×10^(100) 과 비교하면 오차가 크리 크지 않음을 알 수 있음.
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세상의모든계산기
같은 방식으로 500! 근사값을 구해보면
1.219933487 × 10^(1134)
1.22013682599111006870123878542304692625357434280319284219241358838 × 10^(1134) (참값, 울프람 알파)
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세상의모든계산기
중간값 오류 가능성
http://kin.naver.com/qna/detail.nhn?d1id=5&dirId=50105&docId=236207580&ref=me2lnk
(최종결과값은 계산기 한계 이내일지라도)
계산식 중간에 계산기 한계를 넘는 중간결과가 발생하면
최종 결과의 오류로 이어질 수 있습니다.
이런 경우에는 계산 순서를 적절히 조절하여 한계를 벗어나지 않게 하거나,
단위를 줄여서(?) 계산하는 등의 편법이 필요합니다.예시)
A = 9.11*10^(-31),
B = (1.6*10^(-19))^4,
C = (4π*(8.85*10^(-12)))^2,
D = (1.054*10^(-34))^2
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세상의모든계산기
fx-9860GII 에서도 똑같은 증상
http://kin.naver.com/qna/detail.nhn?d1id=11&dirId=113111&docId=286373393 -
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세상의모든계산기
계산기 설명서에는 계산기에서 사용 가능한 숫자의 범위가 나옵니다. 이를 통해 몇 펙토리알까지 계산이 가능할지도 추정해 볼 수 있겠지요.
└ fx-5800p 설명서 중 발췌 ┘ -
세상의모든계산기
'왜 1.79769313E+308 일까?'
https://stackoverflow.com/questions/22402885/why-is-number-max-value-1-7976931348623157e308-instead-of-9007199254740992e102
바드 AI 에 물어보니
삼성 갤럭시 계산기 최대값이 1.79769313E+308 이던데 그 이유가 뭐야?
삼성 갤럭시 계산기의 최대값이 1.79769313E+308인 이유는 IEEE 754라는 부동소수점 표준을 따르기 때문입니다. IEEE 754는 컴퓨터에서 실수를 표현하는 방식을 정의하는 표준이며, 이 표준에 따르면 **'double precision'**이라는 형식으로 표현되는 실수의 최대값은 1.7976931348623157E+308입니다.
이유:
2진수 표현: 컴퓨터는 모든 정보를 2진수로 표현합니다. 실수를 표현하기 위해서는 가수와 지수라는 두 가지 정보가 필요합니다. 가수는 실수의 값을, 지수는 실수의 크기를 나타냅니다.
정밀도: IEEE 754 표준은 'double precision' 형식에서 가수를 53비트, 지수를 11비트를 사용하여 표현합니다. 53비트는 약 16자리의 10진수 숫자를 표현할 수 있으며, 11비트는 -308부터 308까지의 지수를 표현할 수 있습니다.
최대값 계산: 'double precision' 형식에서 표현할 수 있는 최대값은 2^53 - 1 (가수의 최대값) * 2^308 (지수의 최대값)입니다. 이 값을 계산하면 1.7976931348623157E+308입니다.
참고:
'double precision' 형식보다 더 큰 값을 표현할 수 있는 'quad precision' 형식도 존재하지만, 이 형식은 모든 컴퓨터에서 지원되는 것은 아닙니다.
IEEE 754 표준은 실수를 표현하는 가장 일반적인 표준이지만, 다른 표준도 존재합니다.
결론:
삼성 갤럭시 계산기의 최대값이 1.79769313E+308인 이유는 IEEE 754 표준을 따르기 때문입니다. 이 표준은 컴퓨터에서 실수를 표현하는 방식을 정의하며, 'double precision' 형식으로 표현할 수 있는 최대값은 1.7976931348623157E+308입니다.
세상의모든계산기 님의 최근 댓글
TI-nspire 입력 방법 solve({x+a+b=5,x)|a=1 and b=2 2025 12.01 질문하실 때는 항상 계산기 모델명을 정확하게 적으셔야 합니다. 2025 12.01 참고 - [공학용 계산기] 로그의 입력 (log, ln) (feat. 밑 입력이 안되는 계산기는?) https://allcalc.org/14995 2025 11.14 HP-39gII 에 ExistOS 설치하기 https://allcalc.org/38526 2025 11.07 1. 왜 검은색이 아닌 다른 색으로 보일까? (제공된 LUT 필터) 제가 제공해 드린 magenta_lens.cube LUT 필터는 540~560nm(녹색-노란색) 파장대의 색상을 '완전히 제거(검은색으로 만듦)'하는 대신, '다른 색상으로 왜곡/변환'하도록 설계되었습니다. * 원리: LUT(Look-Up Table)는 특정 입력 색상(Input RGB)을 미리 정해진 다른 출력 색상(Output RGB)으로 매핑하는 테이블입니다. 이 LUT는 540~560nm에 해당하는 RGB 값들이 들어오면, 검은색(0, 0, 0)이 아닌, 매우 어둡거나 채도가 낮은 특정 색(예: 어두운 올리브색, 갈색 등)으로 변환하라고 지시합니다. * 의도: * 현실적인 물리 필터 시뮬레이션: 실제 고가의 색약 보정 안경도 특정 파장을 100% 완벽하게 차단하지는 못합니다. 빛의 일부를 흡수하고 일부는 통과시키거나 변환하는데, 이 LUT는 그러한 현실 세계의 필터 효과를 더 비슷하게 흉내 냈을 수 있습니다. * 시각적 정보 유지: 특정 색을 완전히 검게 만들면 그 부분의 형태나 질감 정보가 완전히 사라집니다. 하지만 다른 어두운 색으로 대체하면, 색상 정보는 왜곡되더라도 밝기나 형태 정보는 어느 정도 유지되어 전체적인 이미지가 덜 어색하게 보일 수 있습니다. 결론적으로, 스펙트럼 그림에서 해당 대역의 색이 갑자기 '다른 색으로 툭 바뀌는' 현상은, LUT 필터가 "이 파장대의 색은 앞으로 이 색으로 표시해!"라고 강제적으로 지시한 결과이며, 이것이 바로 이 필터가 작동하는 방식 그 자체입니다. 2. 왜 'Color Vision Helper' 앱은 검은색으로 보일까? 비교하신 'Color Vision Helper' 앱은 노치 필터의 원리를 더 이상적(Ideal)이고 교과서적으로 구현했을 가능성이 높습니다. * 원리: "L-콘과 M-콘의 신호가 겹치는 540~560nm 파장의 빛은 '완전히 차단'되어야 한다"는 개념에 매우 충실한 방식입니다. * 구현: 따라서 해당 파장에 해당하는 색상 정보가 들어오면, 어떠한 타협도 없이 그냥 '검은색(RGB 0, 0, 0)'으로 처리해 버립니다. 이는 "이 파장의 빛은 존재하지 않는 것으로 처리하겠다"는 가장 강력하고 직접적인 표현입니다. 2025 11.06