연립방정식의 풀이법 (System of linear equations)

연립방정식이란 방정식 여러개를 하나로 묶어 놓은 것입니다. 묶어놓은 것을 System(계) 라고 부르구요. 묶인 방정식들이 모두 미지수에 대해서 1차이면 1차 연립방정식이 됩니다. 이 때 미지수가 2개이면 2원 1차 연립 방정식, 미지수가 3개이면 3원 1차 연립방정식이라고 부릅니다. 영어로는 "System of linear equations" 라고 부릅니다.

연립방정식을 푼다는 것은 System의 모든 방정식을 전부다 만족시키는 미지수들간의 조합을 찾는 것을 의미입니다. 

연립방정식을 푸는 가장 기초적인 방법입니다. 예를 들어 ①번식 x+y=2 와 ②번식 x-y=0 이라는 두개의 방정식이 연립되어 있다고 하겠습니다.  식으로 표시하면 이렇게 됩니다. 

$\left\{\begin{array}{l}x+y=2 \cdots \cdots \cdots ①\mathrm{번식}\\ x-y=0 \cdots \cdots \cdots ②\mathrm{번식}\end{array}\right.$

②번 방정식을 x에 대해 정리하면 x=y 라는 식을 얻을 수 있습니다. 이 x값을 ①번식의 x값에 대입하는 것입니다. 그러면 x+y=2 라는 방정식은 y+y=2 라는 방정식이 되고 2*y=2 에서 y=1 임을 알 수가 있게 됩니다. 이 값을 원래의 ①번식이나 ②번식 아니면 ②번식의 변형된 식 아무데나 넣고 다시 계산하면 x=1 이라는 값도 얻을 수가 있게 됩니다. 결국 {x=1, y=1} 이라는 순서쌍이 이 연립방정식의 해가 되는 것입니다.

문자 하나를 다른 문자로 정리해서 대입하는 방법은 일반적인 계산기로는 불가능한 방법이고, 공학용 계산기 중에서 C.A.S 기능이 있는 계산기에서는 사용 가능한 방법입니다.

미지수 2개가 있는 방정식은 x-y 좌표평면에 그래프 형식으로 표시할 수가 있습니다. 좌표평면 위의 그래프가 의미하는 것은 그 "방정식을 만족하는 모든 점들의 집합" 이라는 뜻입니다. 두개의 방정식을 모두 그려서 공통되는 부분(=만나는 부분)이 있다면 그것은 "두개의 방정식을 모두 만족하는 점들의 집합"이라는 의미가 되고, 그것이 바로 연립방정식의 해 입니다.

그런데 이 방법은 해가 어느 구간 안에 있다는 것을 알 수 있을 뿐, 정확한 값을 알기는 쉽지 않을 수도 있습니다.  계산기에 그래핑 기능이 있는 경우에는 trace 기능을 이용해서 해(교차점)을 확인할 수는 있습니다.

선형 연립방정식은 행렬로 표현할 수도 있습니다. 위에서 예시로 든 연립방정식을 행렬로 표시하면 이렇게 됩니다. 

$\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right]·\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\right]$

이 때 해(x,y)를 구하는 방법은 두가지가 있습니다.  ⓐ 역행렬 ⓑ RREF(기약행사다리꼴)

손으로 풀려면 ⓐ 방법에서는 역행렬을 구할 수 있어야 하고, ⓑ 방법에서는 가우스 소거법을 알아야 합니다. 

물론 우리는 계산기라는 좋은 친구가 있으므로, 계수만 입력할 수 있다면 쉽게 답을 찾을 수 있습니다. 
* 초저가형 공학용 계산기에는 MATRIX(행렬) 모드가 없을 수도 있습니다. ⓐ, ⓑ 방법 둘다 X
* 저가형 공학용 계산기에는 RREF 기능이 없을 수도 있습니다. ⓑ 방법 X

참고 : https://allcalc.org/6118 - 가우스 소거법 Gauss Elimination