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[계산] 지평선은 얼마나 멀리까지 보이는 걸까?
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- 2024.10.22 - 12:09 2024.07.13 - 19:28 6180 5
사람 눈높이(170cm) 에서 보이는 동일고도의 지평선은 몇 키로미터나 떨어져 있나?
- 측량학에서의 관점과 차이가 있을 수 있습니다.
Gemini
사람의 눈높이에서 지평선까지의 거리는 약 4.4km입니다.
하지만 이는 지구를 완벽한 구체로 가정하고 대기 굴절을 고려하지 않은 값입니다. 실제로는 지구는 약간 타원형이고 대기 굴절로 인해 빛이 휘어지기 때문에 눈높이에서 지평선까지의 거리는 약 5km까지 늘어납니다.
참고:
- 일반적인 성인의 눈높이는 약 170cm입니다.
- 지구의 반경은 약 6,371km입니다.
- 대기 굴절은 지구 대기가 빛을 약간 휘어지게 하는 현상입니다.
수학적 계산:
지구를 완벽한 구체로 가정하고, 눈높이를 h, 지평선까지의 거리를 d라고 하면 다음과 같은 식이 성립합니다.
d = √(2 * R * h)여기서 R은 지구 반경입니다.
따라서, 눈높이가 170cm(h = 1.7m)일 때 지평선까지의 거리(d)는 다음과 같이 계산됩니다.
d = √(2 * 6,371,000m * 1.7m) ≈ 4,396m대기 굴절을 고려하면 지평선까지의 거리는 약 10% 정도 증가하기 때문에 약 5km가 됩니다.
ChatGPT-4o
성인(170cm)의 눈높이에서 지평선까지의 거리를 계산하려면 지구의 곡률을 고려해야 합니다. 이를 계산하는 공식은 다음과 같습니다:
\[ d \approx \sqrt{2 \times h \times R} \]
여기서:
- \( d \)는 지평선까지의 거리
- \( h \)는 눈높이 (여기서는 1.7미터)
- \( R \)은 지구의 반지름 (약 6371 킬로미터)공식을 사용하여 계산해보겠습니다.
\[ d \approx \sqrt{2 \times 1.7 \times 6371000} \]
성인(170cm)의 눈높이에서 지평선까지의 거리는 약 4.65킬로미터입니다.
Claude 3.5 Sonnet
이 질문에 답하기 위해서는 지구의 곡률을 고려한 계산이 필요합니다. 간단한 수학적 모델을 사용하여 대략적인 답을 구해보겠습니다.
지구를 완벽한 구체로 가정하고, 대기의 굴절 효과는 무시하겠습니다. 계산에 필요한 정보는 다음과 같습니다:
1. 지구의 반경 (R): 약 6,371 km
2. 관찰자의 눈높이 (h): 1.7 m (170 cm)지평선까지의 거리 (d)를 구하는 공식은 다음과 같습니다:
d² = 2Rh + h²
이 공식에 값을 대입하여 계산해보겠습니다:
d² = 2 * 6,371,000 m * 1.7 m + (1.7 m)²
d² = 21,661,400 m² + 2.89 m²
d² = 21,661,402.89 m²d = √21,661,402.89 ≈ 4,654 m
따라서, 성인 눈높이(170cm)에서 바라본 지평선까지의 거리는 약 4.65 km입니다.
이 결과는 이상적인 조건을 가정한 것으로, 실제 상황에서는 대기의 굴절 효과로 인해 지평선이 약간 더 멀리 보일 수 있습니다. 또한 지형의 높낮이나 기타 요인들로 인해 실제 가시 거리는 달라질 수 있습니다.
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댓글5
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세상의모든계산기
TI-nspire CAS 로 살펴 보면
부분 확대 및 x축 vs y축 sacle 수정
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세상의모든계산기
지평선까지의 거리를 계산할 때 사용하는 공식을 이해하기 위해, 지구의 곡률을 고려한 지평선 거리 계산을 기하학적으로 설명할 수 있습니다.
지구는 구형으로 가정할 수 있고, 관찰자의 눈높이에서 지평선까지의 거리를 계산할 때 다음과 같은 변수들을 사용합니다:
- \( R \): 지구의 반지름
- \( h \): 지면~관찰자의 눈 높이
- \( d \): 관찰자의 눈~지평선 사이의 직선거리지구의 중심, 관찰자의 위치, 그리고 지평선은 하나의 직각삼각형을 형성합니다. 이 삼각형에서:
- 한 변은 \( R \) (지구의 반지름)
- 다른 변은 \( d \)
- 빗변은 \( R + h \) : (관찰자의 눈높이를 더한 값)직각삼각형의 피타고라스 정리를 사용하면, 다음과 같은 관계를 얻을 수 있습니다:
\[ (R + h)^2 = R^2 + d^2 \]이를 전개하고 정리하면:
\[ R^2 + 2Rh + h^2 = R^2 + d^2 \]양변에서 \( R^2 \)를 소거하면:
\[ 2Rh + h^2 = d^2 \]따라서:
\[ d^2 = 2Rh + h^2 \]위의 식은 관찰자의 눈높이에서 지평선까지의 거리를 정확하게 계산할 수 있게 해줍니다. 일반적으로 \( h \)가 \( R \)에 비해 매우 작기 때문에 \( h^2 \) 항을 무시하고 근사치를 사용할 수 있습니다. 따라서 더 단순한 공식을 사용하면:
\[ d \approx \sqrt{2Rh} \]그러나 \( d^2 = 2Rh + h^2 \) 공식을 통해 더 정확한 계산이 가능합니다.
* d 의 거리도 눈~지평선까지 직선거리이지, 지구위 두 지점 사이의 거리(=지구 표면상의 거리=호의 길이)는 아님.
h^2 도 무시하는데 뭐... 직선이든 호든 무시할 수도 있지...
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세상의모든계산기
그런데... d 공식 sqrt(2Rh+h^2)은 사람의 눈과 지평선의 직선 거리잖아?
사람이 서 있는 곳(땅)에서 지평선(땅)까지의 곡선거리(지면상 거리) 공식은?
Gemini
네, 맞습니다. 제가 이전에 말씀드린
d = √(2Rh + h^2)공식은 사람의 눈과 지평선의 직선 거리를 계산하는 공식입니다. 죄송합니다, **사람이 서 있는 곳에서 지평선까지의 곡선 거리(지면상 거리)**를 계산하는 공식을 잘못 설명드렸습니다.**사람이 서 있는 곳에서 지평선까지의 곡선 거리(지면상 거리)**를 계산하는 공식은 다음과 같습니다.
D = R * arccos(1 - h / R)여기서:
- D는 지면상 거리(곡선 거리)입니다.
- R은 지구 반경(약 6,371km)입니다.
- h는 눈높이(m)입니다.
예시:
눈높이가 170cm(h = 1.7m)일 때 지면상 거리(D)는 다음과 같이 계산됩니다.
D = 6,371,000m * arccos(1 - 1.7m / 6,371,000m) ≈ 5,091m설명:
- 지구를 완벽한 구체로 가정하고, 눈높이를 h, 지평선까지의 지면상 거리를 D, 지구 반경을 R이라고 합니다.
- O는 지구 중심이고, A는 사람의 눈 위치, B는 지평선จุดบน 지표면입니다.
- 각 OAB는 원의 중심각이며, 크기는 다음과 같습니다.
θ = arccos(1 - h / R)- 따라서, 지면상 거리(D)는 다음과 같습니다.
D = R * θ- 위 공식을 이용하여 사람의 눈높이에 따른 지면상 거리를 계산할 수 있습니다.
주의:
- 이 공식은 지구를 완벽한 구체로 가정하고 대기 굴절을 고려하지 않은 값입니다.
- 실제 지면상 거리는 지구의 타원형 모양과 대기 굴절로 인해 약간 더 길어질 수 있습니다.
도움이 되었기를 바랍니다! 혹시 다른 궁금한 점이 있으면 언제든지 물어보세요.
ChatGPT-4o
사람이 서 있는 곳에서 지평선까지의 곡선 거리, 즉 지면상 거리(호의 길이)를 계산하기 위해서는 지구의 곡률을 고려해야 합니다. 이 거리 계산은 원의 호 길이를 구하는 방법과 유사합니다.
먼저, 관찰자의 눈높이에서 지평선까지의 직선 거리를 \( d \)라고 할 때, 지구의 중심에서 지평선까지의 각도 \( \theta \)를 구해야 합니다. 이 각도는 다음과 같이 구할 수 있습니다:
\[ \theta = \cos^{-1}\left(\frac{R}{R + h}\right) \]여기서:
- \( R \)은 지구의 반지름
- \( h \)는 관찰자의 눈높이그런 다음, 이 각도를 이용하여 호의 길이를 구할 수 있습니다:
\[ s = R \theta \]이를 단계별로 계산해보겠습니다.
사람이 서 있는 곳에서 지평선까지의 지면상 거리는 약 4.65킬로미터입니다. 이는 직선 거리와 거의 동일한 값을 가지며, 이는 눈높이가 지구 반지름에 비해 매우 작기 때문에 발생하는 결과입니다.
Claude 3.5 Sonnet
아, 매우 좋은 지적이십니다. 제가 실수를 했네요. 당신이 말씀하신 대로 제가 계산한 것은 관찰자의 눈에서 지평선까지의 직선 거리였습니다.
지면을 따라 측정한 관찰자의 위치에서 지평선까지의 곡선 거리를 구하는 것이 더 정확한 접근 방법이겠네요. 이를 위해 우리는 지구 표면의 호(arc)의 길이를 계산해야 합니다.
이 곡선 거리를 s라고 하면, 공식은 다음과 같습니다:
s = R * θ
여기서 R은 지구의 반경이고, θ는 중심각(라디안)입니다.
중심각 θ는 다음과 같이 계산할 수 있습니다:
θ = arccos(R / (R + h))
여기서 h는 관찰자의 눈높이입니다.
이제 값을 대입해 보겠습니다:
R = 6,371,000 m
h = 1.7 mθ = arccos(6,371,000 / (6,371,000 + 1.7))
≈ 0.00130 라디안이제 호의 길이 s를 계산할 수 있습니다:
s = 6,371,000 * 0.00130
≈ 8,282 m
≈ 8.28 km따라서, 성인의 눈높이(170cm)에서 지면을 따라 측정한 지평선까지의 거리는 약 8.28 km입니다.
이 결과는 이전에 계산한 직선 거리(4.65 km)보다 상당히 큽니다. 이는 지구의 곡률 때문입니다. 지면을 따라 가는 거리가 직선 거리보다 훨씬 길어지는 것이죠.
다시 한 번 좋은 지적 감사드립니다. 이런 세부사항을 놓치지 않는 것이 정확한 계산에 매우 중요합니다.
기껏해야 1mm 정도의 차이긴 합니다.
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세상의모든계산기
ChatGPT-4o 가 답변을 잘 하는 것 같으니 추가로 물어봤습니다.
좋아. 위 조건에서 만약에 360도 둘러봤을 때 지평선만 일정하게 보이고, 지평선에 튀어나온 부분(지평선보다 높은 부분)이 하나도 안보인다면, 내가 있는 위치보다 해발고도가 10m 이상 높은 지형이 없는 범위는 나로부터 최소 얼마까지로 볼 수 있는가?
지평선에서 일정한 높이 이상의 지형이 보이지 않는 범위를 계산하려면, 지평선과 관찰자가 서 있는 위치 사이의 지형 높이를 고려해야 합니다. 관찰자의 눈높이에서 지평선까지의 거리와 지구의 곡률을 이용하여 이 범위를 추정할 수 있습니다.
1. **관찰자의 높이에서 지평선까지의 거리 계산**:
- 관찰자의 눈높이: \(h = 1.7\) 미터
- 지구 반지름: \(R = 6371\) 킬로미터
- 직선 거리 \(d \approx \sqrt{2Rh} \approx 4.65\) 킬로미터 (이전 계산 참조)2. **지형 높이를 고려한 추가 거리 계산**:
- 추가 지형 높이: \(H = 10\) 미터지구의 곡률을 고려할 때, 지형 높이가 10미터 이상인 부분이 보이지 않는 범위를 계산하려면 다음을 사용합니다:
\[ d_{\text{total}} \approx \sqrt{2R(h + H)} \]
이를 통해 새로운 거리 \(d_{\text{total}}\)를 계산해보겠습니다.
해발고도가 10미터 이상 높은 지형이 보이지 않는 범위는 약 12.21킬로미터입니다. 이는 관찰자의 눈높이에서 지평선까지의 거리에 추가적인 10미터 높이를 고려한 거리입니다.
[>_]
import math # Given values h = 1.7 # height in meters H = 10 # additional height in meters R = 6371000 # radius of the Earth in meters # Calculate the total distance to the horizon considering the additional height d_total = math.sqrt(2 * R * (h + H)) d_total_km = d_total / 1000 # convert meters to kilometers d_total_km
결과
12.209889434388831
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세상의모든계산기
이건 ChatGPT가 분석에 실패한게 아닌가 합니다.
이건 10m 높이의 산이 있다고 할 때, 그 지점에서 수직 높이로 잰 건 아니고, 데카르트 좌표상 y축으로 수직인 거라 차이가 살짝은 있겠지만,
그다지 큰 영향은 없을 거라고 추정되는데 16km 근방이 답일 것 같습니다만...
반지름이 r+10m 인 원과 시선이 만드는 직선의 교점이 맞는건가?
이 점까지의 각도를 찾고 호의 길이를 구하면
세상의모든계산기 님의 최근 댓글
- claude AI는 l-c*r^2 을 1-c*r^2 으로 잘못 읽고 표시하고 있습니다. - TI-nspire CAS 계산기에 l-c*r^2 ≥0 을 조건에 추가해 계산해 보아도 결과는 바뀌지 않습니다. 2026 07.20 ⚠️ 경고가 바로 두 번째 방법이 "성공"한 이유와 정확히 연결되어 있습니다. 경고의 의미 "Domain of the result might be larger than the domain of the input"는 CAS가 절댓값(모듈러스)을 계산하는 과정에서 원래 식보다 정의역이 더 넓은 형태로 단순화했다는 뜻입니다. 구체적으로 이 계산은 내부적으로 대략 이런 과정을 거칩니다. $$\left|\frac{er}{e\cdot r}\right| = \sqrt{\left(\frac{er}{e\cdot r}\right)\cdot\overline{\left(\frac{er}{e\cdot r}\right)}}$$ 즉 원래 식(복소수)과 그 켤레복소수를 곱해서 실수부·허수부 제곱합을 만들고, 거기에 다시 제곱근을 씌우는 과정입니다. 이 과정에서 √(x²) → x 또는 √a·√b → √(ab) 같은 규칙들이 쓰이는데, 이런 규칙들은 x가 실수이고 0 이상일 때만 엄밀하게 성립합니다. CAS는 이 조건들을 일일이 다 추적하지 않고 넘어가면서, 원래는 (e≠0, r+l·ω·i ≠ 0 등) 복소수 특유의 좁은 정의역을 가진 식을, r, l, ω가 어떤 실수여도(부호 무관하게) 정의되는 1/√(r²+l²·ω²)라는 더 넓은 정의역의 식으로 바꿔버린 것입니다. CAS는 이 손실을 감지하고 경고를 띄운 것입니다. 이게 왜 조건 대입 성공과 연결되는가 정리하면, 이 경고는 사실상 이런 뜻입니다. "나는 이 결과를 만들면서 원래 식이 가지고 있던 정의역 제약 정보(부호 조건, i 관련 조건 등)를 이미 버렸다." 바로 이 "정의역 정보를 버린" 상태가 이후 con_1 대입을 매끄럽게 만드는 원인입니다. 첫 번째 시도에서는 i가 살아있는 원래 식에 조건을 대입했기 때문에, CAS가 √(1-c·r²)이 실수인지(정의역 조건: 1-c·r² ≥ 0) 계속 추적하려고 했고, 그 정보가 con에 없어서 더 이상 정리를 못 하고 멈췄습니다. 두 번째 시도에서는 절댓값 계산 단계에서 이미 그런 세밀한 정의역 추적을 CAS 스스로 포기(단순화)했기 때문에, 이후 ω에 무리식을 대입해도 "이게 실수가 맞나?" 하는 검증 절차 없이 그냥 대수적으로 치환·정리해 버립니다. 그래서 깔끔하게 √c/√l이 나온 겁니다. 한 줄 요약 절댓값 계산 시 뜬 "정의역이 넓어졌을 수 있다"는 경고는, CAS가 그 순간에 원래 식의 엄밀한 조건(정의역)을 놓쳤다는 신호이고, 바로 그 "조건을 놓친 상태"이기 때문에 뒤에 이어지는 조건식 대입이 막힘없이 진행된 것입니다. 다만 그 대가로, 결과인 1/√(r²+l²·ω²)이나 최종 √c/√l이 원래 회로 조건(i≠0이 되는 경계, 분모가 0이 되는 경우 등)에서는 엄밀히 성립하지 않을 수 있다는 점은 감안하셔야 합니다. 실제 물리적으로는 r, l, c > 0이고 결과도 물리적으로 타당한 형태라 문제없어 보이지만, 수학적 엄밀성 측면에서는 "정의역이 넓어진 근사적 결과"라는 꼬리표가 붙어있는 셈입니다. 2026 07.20 Claude AI 답변 TI-Nspire CAS의 | (such that / 조건대입) 연산자는 대입 시점의 수식 형태를 그대로 두고 기호만 치환하는 연산입니다. 대입 후에 처음부터 다시 "실수부/허수부 분리, 유리화" 같은 재간소화를 자동으로 수행하지 않습니다. 이 차이가 지금 보신 결과 차이의 핵심입니다. 첫 번째 경우 (|er/(e·r)| | con_1 and con → 실패) 이 시점의 식은 아직 r + l·ω·i 형태의 복소수 그대로입니다 (i가 살아있음). 여기에 con_1: ω = √(1-c·r²)/(√c·l)을 대입하면, 분모 안에 i · √(1-c·r²) 라는 항이 새로 생깁니다. 문제는 CAS가 √(1-c·r²)이 실수인지(즉 1-c·r² ≥ 0인지) 판단할 근거가 없다는 겁니다. 저장해 두신 con 조건은 c>0, l>0, r>0뿐이고, 1-c·r²≥0이라는 조건은 포함되어 있지 않습니다. 그래서 CAS는 i와 이 무리식을 더 정리(유리화, 실수부·허수부 재결합)하지 못하고 있는 그대로 남겨둡니다. 결과에 여전히 i가 보이는 이유입니다. 두 번째 경우 (결과값 1/√(r²+l²·ω²)에 대입 → 성공) |er/(e·r)| (절댓값/모듈러스) 연산은 그 자체로 이미 "복소수 → 실수" 변환을 완료한 결과입니다. 즉 1/√(r²+l²·ω²)에는 더 이상 i가 없고, 순수하게 r, l, ω로만 이루어진 실수식입니다. 이 식에 ω = con_1을 대입하는 것은 그냥 실수 대수식에 실수 대입하는 것이므로, i와 무리식이 뒤엉키는 문제 자체가 발생하지 않습니다. 그래서 바로 깔끔하게 √c/√l로 정리됩니다. 정리하면 절댓값(모듈러스) 계산은 "이 값들이 실수다"라는 가정을 이미 내부적으로 써서 i를 제거하는 연산입니다. 그 연산을 조건 대입 이전에 해두면, 이후 대입은 단순 실수 대입이라 문제없이 정리됩니다. 반대로 i가 남아있는 식에 무리식을 포함한 조건을 먼저 대입하면, 그 무리식의 실수성/부호에 대한 가정이 없어서 CAS가 i를 소거하는 재간소화를 못 하고 멈춰버립니다. 실용적 팁: 복소식에 조건을 대입해야 할 때는 가능하면 절댓값·실수화(유리화) 등을 먼저 끝내서 i를 없앤 뒤 조건을 대입하거나, 대입 후 결과에 다시 simplify/expand/combine 같은 명령을 한 번 더 걸어주면 (필요한 도메인 조건과 함께) 정리가 되는 경우가 많습니다. 2026 07.19 저도 어림잡아 추측할 뿐이지 정확한 이유를 알지는 못합니다. 질문하신 사진을 그대로 (Gemini 3.5 Flash / ChatGPT / Claude Sonnet 5) AI에 넣어 보니 claude AI 가 제일 합리적인 답변을 주어서 이를 붙여 넣습니다. 2026 07.19 아 그렇네요. 감사합니다. ^^ 2026 04.28