자기 포텐셜 -> 점의 자속밀도는? feat. curl

질문 

전류 분포가 벡터 자기 포텐셜 A[Wb/m] 를 발생시킬 때, 
점 (-1,2,5)[m] 에서의 자속 밀도 B[T]는? 
(단, A=2yz^2a_x + y^2xa_y+4xyza_z 이다)

답변

문제는 주어진 벡터 자기 퍼텐셜 \( \mathbf{A} \)에서 자속 밀도 \( \mathbf{B} \)를 계산하는 것입니다. 벡터 자기 퍼텐셜 \( \mathbf{A} \)는 다음과 같이 주어져 있습니다:
\[ \mathbf{A} = 2yz^2 \mathbf{a_x} + y^2 x \mathbf{a_y} + 4xyz \mathbf{a_z} \]

자속 밀도 \( \mathbf{B} \)는 벡터 자기 퍼텐셜 \( \mathbf{A} \)의 회전(curl)로 계산할 수 있습니다:
\[ \mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A} \]

회전 연산자의 정의는 다음과 같습니다:

 \[ \begin{vmatrix}
\mathbf{a_x} & \mathbf{a_y} & \mathbf{a_z} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
A_x & A_y & A_z
\end{vmatrix} \]

여기서 \( A_x = 2yz^2 \), \( A_y = y^2 x \), \( A_z = 4xyz \)입니다.

이를 행렬식으로 계산하면:
\[ \nabla \times \mathbf{A} = \mathbf{a_x} \left( \frac{\partial (4xyz)}{\partial y} - \frac{\partial (y^2 x)}{\partial z} \right) - \mathbf{a_y} \left( \frac{\partial (4xyz)}{\partial x} - \frac{\partial (2yz^2)}{\partial z} \right) + \mathbf{a_z} \left( \frac{\partial (y^2 x)}{\partial x} - \frac{\partial (2yz^2)}{\partial y} \right) \]

각 항을 계산하면:

• \( \mathbf{a_x} \) 항:
  $ \frac{\partial (4xyz)}{\partial y} = 4xz , \frac{\partial (y^2 x)}{\partial z} = 0 $
  $ \text{따라서, } \mathbf{a_x} \text{ 항은 } 4xz \mathbf{a_x} $
   

• \( \mathbf{a_y} \) 항:
  $ \frac{\partial (4xyz)}{\partial x} = 4yz , \frac{\partial (2yz^2)}{\partial z} = 4yz $
  $ \text{따라서, } \mathbf{a_y} \text{ 항은 } (4yz - 4yz) = 0 $
   

• \( \mathbf{a_z} \) 항:
  $ \frac{\partial (y^2 x)}{\partial x} = y^2 , \frac{\partial (2yz^2)}{\partial y} = 2z^2 $
  $ \text{따라서, } \mathbf{a_z} \text{ 항은 } (y^2 - 2z^2) \mathbf{a_z} $

따라서 자속 밀도 \( \mathbf{B} \)는 다음과 같습니다:
\[ \mathbf{B} = 4xz \mathbf{a_x} + (y^2 - 2z^2) \mathbf{a_z} \]

이 값을 점 \( (-1, 2, 5) \)에서 계산하면:

• \( x = -1 \)
• \( y = 2 \)
• \( z = 5 \)

$ \mathbf{B} = 4(-1)(5) \mathbf{a_x} + (2^2 - 2(5)^2) \mathbf{a_z} $
$ \mathbf{B} = -20 \mathbf{a_x} + (4 - 50) \mathbf{a_z} $
$ \mathbf{B} = -20 \mathbf{a_x} - 46 \mathbf{a_z} $