[공학용 계산기] 한줄입력시 지수(^) 계산 우선순위. 2^2^3 = ?
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- 2024.10.04 - 18:56 2015.08.22 - 20:55 3556 8
1. 문제
Q : 2 ^ 2 ^ 3 을 공학용 계산기에 한 줄 입력(Linear IO) 했을 때 그 결과는?
답_a : (2^2)^3 = 4^3 = 2^6 = 64
답_b : 2^(2^(3)) = 2^8 = 256
2. 수학적 정답
어떻게 계산되는게 옳은 걸까요? 일단 수학적으로는 'b'가 옳습니다.
'예전에 이슈가 됐었던 48÷2(9+3) = ? 때와 달리 2^2^3 을 수학적으로 표현했을 때 가 될 것이 분명하기(=오해의 소지가 없기) 때문입니다. 그리고 에 대한 수학적 답은 256 뿐입니다.
참고
- https://en.wikipedia.org/wiki/Order_of_operations
ㄴ Serial exponentiation : If exponentiation is indicated by stacked symbols using superscript notation, the usual rule is to work from the top down: - https://en.wikipedia.org/wiki/Operator_associativity
ㄴ A detailed example :^is taken to be a right-associative exponentiation operator.
3. 계산기의 결과
그렇다면 계산기를 통해서도 같은 결과를 얻을 수 있을까요? 일단 한줄입력을 직접 해 보고 계산 결과를 확인해 보겠습니다.
(대상 계산기는 처음 문제처럼 지수를 한줄로(Line IO) 표기할 수 있는 계산기로 한정하겠습니다.)
결과 a (64) : fx-9860G, 윈도우10 기본 공학용 계산기, fx-570MS, 모닝글로리 ECS-101 // 제보 감사합니다.
결과 b (256) : TI-89T, 구글 Web, 구글 스프레드시트, Wolfram Alpha, HP Prime
[TI-nspire]의 guidebook에 보면 아래의 내용이 나옵니다.
EOS™ (Equation Operating System) Hierarchy
Exponentiation
Exponentiation (^) and element-by-element exponentiation (.^) are evaluated from right to left. For example, the expression 2^3^2 is evaluated the same as 2^(3^2) to produce 512.
This is different from (2^3)^2, which is 64.
그리고 [fx-570 EX] 와 [fx-570 ES] 계산기에서는
^를 '한줄입력'방식으로 입력하면 하나의 문자인 것처럼 '^(' 가 입력됩니다. 여는 괄호 '('만 따로 지울 수가 없습니다. 따라서 2^2^3 꼴로 입력해볼 수가 없습니다.
개인적인 결론
1. 계산기는 도구일 뿐이므로, 이 문제도 계산기를 만든 사람과 사용자가 약속하기 나름이다.
2. 하지만 둘 중 하나를 선택할 수 있는 문제라면, 수학적 표기와 일치하는 순서인 역순(=오른쪽부터)으로 처리하는 것이 바람직하며, 반대의 경우라면 왜 그런 선택을 해야 했는지에 대한 설명이 있어야 한다.
3. 한줄 입력의 경우 오해가 생기지 않도록 '자동으로 괄호가 생기도록 하는 방식'은 직관적이며, 효율적이다.
참고 :
https://en.wikipedia.org/wiki/Caret
TI-NspireCAS_ReferenceGuide_EN (설명서)
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댓글8
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세상의모든계산기
곱하기기호와 지수기호의 우선순위
2×3^4 이라는 수식이 놓여 있습니다.
이 식을 ⓐ 라고 보아야 할까요? 아니면 ⓑ 으로 보아야 할까요? 이도 저도 아니라면 ⓒ "2, 3, 4 사이에 괄호가 없으니 잘못된 수식"이라고 말해야 할까요?
설문조사를 해 본 것은 아니지만 수학 또는 공학을 아는 대부분의 사람은 ⓐ 를 선택할 것입니다. 그 말은 괄호 없이 × 와 ^ 기호가 양쪽에 있을 때, 우선순위는 ^ 에 있다는 것을 의미하고, 괄호를 이용해 표현하면 (2×(3^4)) 가 되는 것입니다.
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세상의모든계산기
$7^{3^{2}} ÷ 7^{2^{3}}$ = ?
울프람 알파
https://www.wolframalpha.com/input?i=7%5E3%5E2%C3%B77%5E2%5E3
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세상의모든계산기
ChatGPT-4o
문제는 다음과 같습니다:
\[
\frac{7^{3^2}}{7^{2^3}}
\]우선 지수를 계산합니다.
1. \(3^2 = 9\)이므로, \(7^{3^2} = 7^9\).
2. \(2^3 = 8\)이므로, \(7^{2^3} = 7^8\).이제 식은 다음과 같이 변합니다.
\[
\frac{7^9}{7^8}
\]같은 밑을 가진 거듭제곱의 나눗셈에서는 지수를 빼줍니다:
\[
7^{9-8} = 7^1 = 7
\]따라서, 최종 답은 7입니다.
지수의 지수가 있는 꼴, 즉 \((a^{b^c})\)와 같은 표현에서 계산의 우선순위는 지수의 지수를 먼저 계산하는 것이 원칙입니다. 이것을 오른쪽에서 왼쪽으로 계산한다고 표현하기도 합니다. 수학적으로 이는 상위 지수부터 차례대로 계산하는 방식으로 진행됩니다.
이를 근거로 설명하면:
1. 지수법칙과 괄호의 생략: 지수법칙에 따르면, \(a^{(b^c)}\)와 \(a^{b^c}\)는 동일하게 해석됩니다. 괄호를 생략한 표현이라도 암묵적으로 지수의 지수를 먼저 계산하는 것으로 간주됩니다.
예를 들어, \(a^{b^c}\)에서 먼저 \(b^c\)를 계산한 후, 이를 다시 \(a\)의 지수로 사용하는 것이 일반적인 해석입니다.2. 우선순위 규칙: 수학에서 계산 우선순위 규칙은 다음과 같습니다:
- 괄호
- 지수
- 곱셈 및 나눗셈
- 덧셈 및 뺄셈이 중 지수의 우선순위는 괄호보다 아래지만, 곱셈/나눗셈보다는 우선이므로 지수의 지수는 먼저 계산됩니다.
3. 예시: \( 2^{3^2} \)를 계산할 때, 먼저 \(3^2 = 9\)를 계산한 후 \(2^9\)을 구하는 것이 맞습니다. \( (2^3)^2 \)처럼 괄호가 다르게 있다면, 그에 맞는 순서를 따르겠지만, 일반적으로는 지수의 지수를 먼저 계산하는 방식이 사용됩니다.
따라서 지수의 지수를 먼저 계산하는 것이 수학적 관례이자 지수법칙에 따른 원칙입니다.
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세상의모든계산기
Claude 3.5 Sonnet
Let's approach this step-by-step:
1) First, let's understand what 7^3^2 means:
This is interpreted as 7^(3^2), not (7^3)^2
So, 7^3^2 = 7^(3^2) = 7^92) Similarly, 7^2^3 is interpreted as 7^(2^3):
7^2^3 = 7^(2^3) = 7^83) Now our expression looks like this:
7^9 ÷ 7^84) When dividing exponential expressions with the same base, we subtract the exponents:
7^9 ÷ 7^8 = 7^(9-8) = 7^1 = 7Therefore, 7^3^2 ÷ 7^2^3 = 7.
지수의 지수가 있는 꼴에서 계산 우선순위에 대해 한글로 설명드리겠습니다.
1. 계산 우선순위:
a^b^c 형태의 식에서는 오른쪽에서 왼쪽으로 계산합니다. 즉, (a^(b^c))로 해석됩니다.2. 근거:
1) 수학적 관례: 이는 수학계에서 널리 받아들여지는 관례입니다. 대부분의 수학 교과서와 참고 자료에서 이 규칙을 따릅니다.2) 의미의 일관성: 이 규칙을 따르면 수식의 의미가 일관되게 유지됩니다. 예를 들어, 2^3^4는 2^(3^4)로 해석되며, 이는 2^81입니다. 만약 (2^3)^4로 해석한다면 결과는 4096이 되어 큰 차이가 생깁니다.
3) 표기법의 간결성: 이 규칙을 통해 복잡한 괄호 없이도 의미를 명확하게 전달할 수 있습니다. a^(b^c)를 간단히 a^b^c로 쓸 수 있게 됩니다.
4) 함수적 해석: 지수를 함수로 볼 때, f(x) = a^x라면, a^b^c는 f(f(c))로 해석될 수 있습니다. 이는 함수의 합성 개념과 일치합니다.
3. 주의사항:
- 이 규칙은 지수 연산에만 적용됩니다. 다른 연산자들과 혼합될 경우 일반적인 연산 우선순위 규칙을 따릅니다.
- 명확성이 필요한 경우, 괄호를 사용하여 의도를 명확히 표현하는 것이 좋습니다.이러한 규칙은 수학적 표현의 일관성과 효율성을 위해 중요합니다. 복잡한 수식을 다룰 때 이 규칙을 이해하고 적용하면 계산 오류를 줄이고 정확한 결과를 얻을 수 있습니다.
세상의모든계산기 님의 최근 댓글
2) 고정기준값 41에 대한 오차 제곱합 계산방법 이건 통계메뉴에서는 딱히 방법이 떠오르지 않네요. 질문하신 것과 같이 적은 갯수의 data라면 직접 입력하시는게 최선입니다. 하지만 DATA 갯수가 수십개 이상이라면? ㄴ 스프레드시트 기능을 이용하시는게 좋겠습니다. 【MENU】【8】 A열에 DATA 입력하고 B로 이동한 후 OPTN 【1】 Fill Formula 【ALPHA】키 방향키 숫자키 등을 이용해 수식 완성 C로 이동후 Formula 수식 입력 D의 빈공간으로 이동 후 OPTN 방향키 아래 누르다보면 Sum 보임 ALPHA 키 이용해서 수식 완성. : 기호는 MENU 버튼 바로 아래 있음 (ALPHA키로 입력) 【=】입력하면 최종결과 확인 * 주의 (B열, C열과 달리) D1 셀은 계산 결과인 951이 직접 입력된 상태이므로 DATA 수정후 recalculation 하여도 자동계산되지 않음. 자동계산을 위해서는 formula 형식으로 입력해야 함. 2026 10.27 1) 통계적 편차제곱합(평균 50.25기준) 입력 방법 【MENU】 【6】 【1】 로 1-var Stat 모드로 진입하여 【48】 【=】 【66】 【=】 【32】 【=】 【55】【=】 DATA 입력 【OPTN】 【3】 【▼】 【▼】 fx-570EX 기종에도 편차제곱합을 바로 보여주진 않습니다. 본문에 나온 것처럼 앞서 계산되어 저장된 각종 변수를 이용해 계산합니다. 【AC】【OPTN】【4】Statistics Calc 이 화면에서 다시 OPTN 하고 (메뉴가 3개로 줄어 있죠?) 여기서 방향키로 【▼】 아래를 내려보면 추가 메뉴가 있습니다. 4개 메뉴에는 각각 아래 하위 메뉴가 있습니다. 이 중에서 필요로 하는 것을 골라 계산하시면 되겠습니다. Variable 에 있는 값을 이용하면 다른 공식을 쓰셔도 됩니다. 2026 10.27 질문자님, 48,66,32,55 네 개 DATA 의 평균은 50.25라서 41은 평균이 아닙니다. 그래서 식을 두 가지 경우로 나누어 설명하겠습니다. 1) 통계적 편차제곱합(평균 50.25기준)이면 답은 608.75 입니다. 2) 만약 41이라는 고정 기준값에 대한 제곱합을 구하시는 거면 식은 (48-41)²+... 이고 답은 951입니다. 원문에 +로 쓰신 건 -의 오타로 보입니다. 2026 10.27 본문의 변환 위젯에 사용된 전서체 폰트는 대만의 최고 학술 연구 기관인 중앙연구원(Academia Sinica)에서 제공하는 ‘숭희전체(崇羲篆體)’로 전통 한자 서체인 소전(小篆)을 현대 컴퓨터 폰트(글꼴)로 구축한 오픈소스 프로젝트로 개발되었습니다. https://xiaoxue.iis.sinica.edu.tw/chongxi/download.htm 2026 10.20 예제1) 예제2) 예제3) 추가옵션 2026 10.18