역삼각함수 (inverse trigonometric function)
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- 2024.07.20 - 14:16 2015.02.27 - 19:07 40221 12
1. 역삼각함수란?
역삼각함수(inverse trigonometric function)는 삼각함수의 역함수를 말한다.
2. 역삼각함수의 특징
삼각함수는 단사함수가 아니기 때문에 이의 역함수를 정의하려면 정의역과 치역을 제한하는 것이 필요하다.
아래는 역삼각함수들의 정의와 표기법, 정의역과 치역들을 나타낸 표이다.
| 이름 | 표기법 | 정의 | 정의역 | 치역 |
|---|---|---|---|---|
| 아크사인 | y = arcsin x 또는 y = sin-1 x | x = sin y | −1부터 +1 | −π/2 ≤ y ≤ π/2 |
| 아크코사인 | y = arccos x 또는 y = cos-1 x | x = cos y | −1부터 +1 | 0 ≤ y ≤ π |
| 아크탄젠트 | y = arctan x 또는 y = tan-1 x | x = tan y | 모든 실수 | −π/2 < y < π/2 |
| 아크코탄젠트 | y = arccot x 또는 y = cot-1 x | x = cot y | 모든 실수 | 0 < y < π |
| 아크시컨트 | y = arcsec x 또는 y = sec-1 x | x = sec y | −∞부터 −1과 1부터 ∞ | 0 ≤ y < π/2 or π/2 < y ≤ π |
| 아크코시컨트 | y = arccsc x 또는 y = csc-1 x | x = csc y | −∞부터 −1과 1부터 ∞ | −π/2 ≤ y < 0 or 0 < y ≤ π/2 |
정의역을 복소수로 두게되면 위에서 치역의 범위는 실수부의 범위가 된다.
출처 : http://ko.wikipedia.org/wiki/역삼각함수
영문판 : https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_trigonometric_functions
3. 주의 사항
- y = sin-1 x 의 -1을 를 지수로 해석해서, 곱하기 역수인 y = {sin(x)}-1 = (1 ÷ ((sin(x))) 로 계산하면 안된다.
- 삼각함수 및 역삼각함수를 손으로 정확하게 구하는 방법은 없다. 따라서 삼각함수표나 공학용 계산기를 이용해야만 한다.
(특수한 경우 테일러 급수 등을 이용해 근사값을 빠르게 구하는 방법은 있습니다만...
참고 : http://jjycjnmath.tistory.com/32 ) - 역삼각함수의 치역 범위(=결과값의 범위)를 잘 따져야 한다.
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댓글12
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세상의모든계산기
키 입력 방법
역삼각함수는 대부분의 공학용 계산기에 기본으로 내장되어 있습니다.
컴퓨터에서 쌍시옷 누르려면 【SHIFT】+【ㅅ】 누르는 것처럼 키의 조합으로 입력할 수 있습니다.
다만, 【SHIFT】에 해당하는 키를 누른 채로 유지할 필요는 없고, 순서대로만 누르시면 됩니다.
ArcSin
ArcCos
ArcTanSHIFT 에 해당하는 버튼은 보통 좌측 최상단에 위치하고 있고, 계산기마다 이름이 다른데 【SHIFT】, 【2nd F】, 【Ctrl】등으로 사용합니다.
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세상의모든계산기
삼각함수표
( 출처 : http://netp.tistory.com/6)
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세상의모든계산기
윈도우 공학용 계산기
버튼을 누르면 역삼각함수가 나옵니다.
ex) arctan(10) 의 계산
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세상의모든계산기
울프람 알파(Web)
http://www.wolframalpha.com/input/?i=arccos%280.8615%29
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세상의모든계산기
각도 설정
역삼각함수는 출력 결과값이 각도 단위이기 때문에,
계산기의 Setting - Angle(각도) 사전 설정값에 따라 결과가 radian / degree 로 선택되어 출력됩니다.
http://www.allcalc.org/4217 -
세상의모든계산기2016.03.07 - 23:26 #15666Knowledge Base
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Solution 11693: Algorithm for Solving Trigonometric Functions (Sine, Cosine and Tangent) on Texas Instruments' Graphing Calculators.
Type Question and Answer
Last Updated 07-DEC-2007 09:01:14
How does TI graphing calculators compute values for sine, cosine and tangent?
Texas Instruments uses the CORDIC algorithm method to compute trigonometric and other transcendental functions. A recent thread on Graph-TI asks about the internal methods used to compute trigonometric and other transcendental functions.
Most practical algorithms in use for transcendental functions are either polynomial approximations or the CORDIC method. TI calculators have almost always used CORDIC, the exceptions being the CC-40, TI-74 and TI-95 which used polynomial approximations.
In the PC world, the popular Intel math co-processors like the 8087 use CORDIC methods, while the Cyrix 83D87 uses polynomial methods. There are pros and cons to both methods. References 1 and 2 give some information on these devices but not down to the detailed algorithm level.
The polynomial approximations, however, are not usually familiar ones like a Taylor's series, but more related to Chebyshev polynomials. Early work on this topic was done by Hastings (ref 3) which is a fascinating book that represents a lot of tedious work in an age when "computers" were still likely to be people!
A more recent standard reference for constructing these polynomials is Hart (ref 4). A thorough treatment of the minor details one has to deal with in implementing the full algorithms for elementary functions (like binary versus decimal number representations and ranging for general arguments) is in Cody(ref 5).
The CORDIC algorithm is a super example of an approach that is quite different from traditional math and which is very efficient. One often sees a very specialized problem solution like this in many areas of engineering and science, which makes exposure to ideas of this type valuable in education, at least for advanced students.
CORDIC is an acronym for COrdinate Rotation DIgital Computer and was developed by J.E. Volder in 1959 (ref 6). Additional articles and one book chapter covering the technique are given in references 7 - 10. All these articles are complete enough to give the essentials of the method but each one reveals interesting variations. To give you a flavor for the idea and some material to work with without tracking down these references, we will give a worked example and a general description of the principle.
The concept of CORDIC is to take an angle theta and "rotate" a vector over this angle towards zero in a series of steps such that the sum of all the steps taken equals theta and we can accumulate corresponding X and Y increments for each step such that when we complete the process, Y/X = tan(theta). Variations of this basic concept can result in all the forward and inverse trigs as well as square root, hyperbolic trigs, and the exponential and logarithm functions.
Please see the graphing calculator guidebooks for more information and examples on using the sine, cosine and tangent functions. -
세상의모든계산기
atan2(y,x)
atan() 함수의 치역이 -pi/2 ~ pi/2 이기 때문에, 이 결과만으로는 좌표평면상 두 점의 위치관계를 정확하게 알기 어렵다.
이를 해결하기 위해 atan2(y,x) 가 필요함. 이 함수의 치역은 -pi ~ pi 로 정확한 방향을 특정할 수 있다.https://en.wikipedia.org/wiki/Atan2
https://www.medcalc.org/manual/atan2_function.php
복소수 취급이 불가능한 계산기는 arg() 함수가 없습니다. 대신 pol(x,y) 함수를 이용해 각도값을 찾을 수 있습니다.
세상의모든계산기 님의 최근 댓글
- claude AI는 l-c*r^2 을 1-c*r^2 으로 잘못 읽고 표시하고 있습니다. - TI-nspire CAS 계산기에 l-c*r^2 ≥0 을 조건에 추가해 계산해 보아도 결과는 바뀌지 않습니다. 2026 07.20 ⚠️ 경고가 바로 두 번째 방법이 "성공"한 이유와 정확히 연결되어 있습니다. 경고의 의미 "Domain of the result might be larger than the domain of the input"는 CAS가 절댓값(모듈러스)을 계산하는 과정에서 원래 식보다 정의역이 더 넓은 형태로 단순화했다는 뜻입니다. 구체적으로 이 계산은 내부적으로 대략 이런 과정을 거칩니다. $$\left|\frac{er}{e\cdot r}\right| = \sqrt{\left(\frac{er}{e\cdot r}\right)\cdot\overline{\left(\frac{er}{e\cdot r}\right)}}$$ 즉 원래 식(복소수)과 그 켤레복소수를 곱해서 실수부·허수부 제곱합을 만들고, 거기에 다시 제곱근을 씌우는 과정입니다. 이 과정에서 √(x²) → x 또는 √a·√b → √(ab) 같은 규칙들이 쓰이는데, 이런 규칙들은 x가 실수이고 0 이상일 때만 엄밀하게 성립합니다. CAS는 이 조건들을 일일이 다 추적하지 않고 넘어가면서, 원래는 (e≠0, r+l·ω·i ≠ 0 등) 복소수 특유의 좁은 정의역을 가진 식을, r, l, ω가 어떤 실수여도(부호 무관하게) 정의되는 1/√(r²+l²·ω²)라는 더 넓은 정의역의 식으로 바꿔버린 것입니다. CAS는 이 손실을 감지하고 경고를 띄운 것입니다. 이게 왜 조건 대입 성공과 연결되는가 정리하면, 이 경고는 사실상 이런 뜻입니다. "나는 이 결과를 만들면서 원래 식이 가지고 있던 정의역 제약 정보(부호 조건, i 관련 조건 등)를 이미 버렸다." 바로 이 "정의역 정보를 버린" 상태가 이후 con_1 대입을 매끄럽게 만드는 원인입니다. 첫 번째 시도에서는 i가 살아있는 원래 식에 조건을 대입했기 때문에, CAS가 √(1-c·r²)이 실수인지(정의역 조건: 1-c·r² ≥ 0) 계속 추적하려고 했고, 그 정보가 con에 없어서 더 이상 정리를 못 하고 멈췄습니다. 두 번째 시도에서는 절댓값 계산 단계에서 이미 그런 세밀한 정의역 추적을 CAS 스스로 포기(단순화)했기 때문에, 이후 ω에 무리식을 대입해도 "이게 실수가 맞나?" 하는 검증 절차 없이 그냥 대수적으로 치환·정리해 버립니다. 그래서 깔끔하게 √c/√l이 나온 겁니다. 한 줄 요약 절댓값 계산 시 뜬 "정의역이 넓어졌을 수 있다"는 경고는, CAS가 그 순간에 원래 식의 엄밀한 조건(정의역)을 놓쳤다는 신호이고, 바로 그 "조건을 놓친 상태"이기 때문에 뒤에 이어지는 조건식 대입이 막힘없이 진행된 것입니다. 다만 그 대가로, 결과인 1/√(r²+l²·ω²)이나 최종 √c/√l이 원래 회로 조건(i≠0이 되는 경계, 분모가 0이 되는 경우 등)에서는 엄밀히 성립하지 않을 수 있다는 점은 감안하셔야 합니다. 실제 물리적으로는 r, l, c > 0이고 결과도 물리적으로 타당한 형태라 문제없어 보이지만, 수학적 엄밀성 측면에서는 "정의역이 넓어진 근사적 결과"라는 꼬리표가 붙어있는 셈입니다. 2026 07.20 Claude AI 답변 TI-Nspire CAS의 | (such that / 조건대입) 연산자는 대입 시점의 수식 형태를 그대로 두고 기호만 치환하는 연산입니다. 대입 후에 처음부터 다시 "실수부/허수부 분리, 유리화" 같은 재간소화를 자동으로 수행하지 않습니다. 이 차이가 지금 보신 결과 차이의 핵심입니다. 첫 번째 경우 (|er/(e·r)| | con_1 and con → 실패) 이 시점의 식은 아직 r + l·ω·i 형태의 복소수 그대로입니다 (i가 살아있음). 여기에 con_1: ω = √(1-c·r²)/(√c·l)을 대입하면, 분모 안에 i · √(1-c·r²) 라는 항이 새로 생깁니다. 문제는 CAS가 √(1-c·r²)이 실수인지(즉 1-c·r² ≥ 0인지) 판단할 근거가 없다는 겁니다. 저장해 두신 con 조건은 c>0, l>0, r>0뿐이고, 1-c·r²≥0이라는 조건은 포함되어 있지 않습니다. 그래서 CAS는 i와 이 무리식을 더 정리(유리화, 실수부·허수부 재결합)하지 못하고 있는 그대로 남겨둡니다. 결과에 여전히 i가 보이는 이유입니다. 두 번째 경우 (결과값 1/√(r²+l²·ω²)에 대입 → 성공) |er/(e·r)| (절댓값/모듈러스) 연산은 그 자체로 이미 "복소수 → 실수" 변환을 완료한 결과입니다. 즉 1/√(r²+l²·ω²)에는 더 이상 i가 없고, 순수하게 r, l, ω로만 이루어진 실수식입니다. 이 식에 ω = con_1을 대입하는 것은 그냥 실수 대수식에 실수 대입하는 것이므로, i와 무리식이 뒤엉키는 문제 자체가 발생하지 않습니다. 그래서 바로 깔끔하게 √c/√l로 정리됩니다. 정리하면 절댓값(모듈러스) 계산은 "이 값들이 실수다"라는 가정을 이미 내부적으로 써서 i를 제거하는 연산입니다. 그 연산을 조건 대입 이전에 해두면, 이후 대입은 단순 실수 대입이라 문제없이 정리됩니다. 반대로 i가 남아있는 식에 무리식을 포함한 조건을 먼저 대입하면, 그 무리식의 실수성/부호에 대한 가정이 없어서 CAS가 i를 소거하는 재간소화를 못 하고 멈춰버립니다. 실용적 팁: 복소식에 조건을 대입해야 할 때는 가능하면 절댓값·실수화(유리화) 등을 먼저 끝내서 i를 없앤 뒤 조건을 대입하거나, 대입 후 결과에 다시 simplify/expand/combine 같은 명령을 한 번 더 걸어주면 (필요한 도메인 조건과 함께) 정리가 되는 경우가 많습니다. 2026 07.19 저도 어림잡아 추측할 뿐이지 정확한 이유를 알지는 못합니다. 질문하신 사진을 그대로 (Gemini 3.5 Flash / ChatGPT / Claude Sonnet 5) AI에 넣어 보니 claude AI 가 제일 합리적인 답변을 주어서 이를 붙여 넣습니다. 2026 07.19 아 그렇네요. 감사합니다. ^^ 2026 04.28