TI NSPIRE CX CAS에서 극한값 질문 다시 한번 문의 드립니다.
안녕하세요. 세모계님
이번에는 조금 특이한 경우로 가져와 봤습니다.
시그마가 일반항으로 표현이 안되는 경우입니다.
그런 경우는 극한값이 구해지지 않네요.
그런데 바젤함수라고 수학적으로 극한값이 증명이 된 문제입니다.
방법이 없을까요?
늘 감사드립니다.
댓글 6
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관련 동영상입니다.
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짝수승을 대입을 하면 극한값이 계산이 되네요.
덕분에 오늘도 또 한개 배우고 갑니다.
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그렇군요.
홀수는 결과 값이 계산되어 출력되지 않는가봅니다.
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Gemini 질문 / 답변
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│ > (1/n^2)이 일반항인 수열의 무한급수는? │
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✦ 해당 무한급수는 바젤 문제(Basel problem)라고 불리며, 그 합은 π²/6 입니다.
Σ (1/n²) = 1/1² + 1/2² + 1/3² + ... = π²/6
이 값은 약 1.644934입니다. 레온하르트 오일러가 해결한 유명한 문제입니다.
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│ > (1/n^3)이 일반항인 수열의 무한급수는? │
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✦ 그 무한급수 Σ (1/n³)의 합은 아페리 상수(Apéry's constant)라고 불리는 값으로 수렴합니다.
Σ (1/n³) = 1/1³ + 1/2³ + 1/3³ + ... ≈ 1.2020569
(1/n²)의 합(π²/6)과는 달리, 이 값은 π와 같은 초등 함수를 이용한 간단한 닫힌 형식(closed-form)으로 표현되는
것이 알려져 있지 않습니다. 이 상수는 무리수라는 것이 증명되었습니다.
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│ > (1/n^4)이 일반항인 수열의 무한급수는? │
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✦ 해당 무한급수의 합은 π⁴/90 입니다.
Σ (1/n⁴) = 1/1⁴ + 1/2⁴ + 1/3⁴ + ... = π⁴/90
이는 (1/n²)의 경우처럼 π를 사용하여 간단한 형태로 표현할 수 있습니다. 일반적으로 짝수 거듭제곱의 역수의
합은 π의 거듭제곱과 유리수의 곱으로 나타낼 수 있습니다.
이 값은 약 1.0823232입니다.
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│ > 모든 자연수에 대해서 수렴하나? │
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✦ 아니요, 모든 자연수 k에 대해 수렴하는 것은 아닙니다.
무한급수 Σ (1/n^k) (n=1부터 ∞까지)는 k > 1 일 때만 수렴합니다.
* k = 1인 경우: Σ (1/n) = 1 + 1/2 + 1/3 + ... 이것은 조화급수(harmonic series)라고 불리며, 발산합니다.
* k > 1인 경우 (k=2, 3, 4, ...): 이 경우에는 항상 수렴합니다. 우리가 이야기했던 π²/6, 아페리 상수, π⁴/90
등이 모두 이 경우에 해당합니다.
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│ > ti nspire 라는 공학용 계산기로 구해보면 지수 부분이 짝수승 자연수에 대해서는 정확한 참값이 구해지는데, │
│ 그 외의 경우에는 (홀수승 자연수, 실수) 값이 구해지지 않고 입력한 수식이 그대로 출력되어버려. 문제가 │
│ 뭘까>? │
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✦ TI-Nspire 계산기에서 관찰하신 현상은 정확하며, 이는 계산기의 문제가 아니라 해당 무한급수의 수학적 특성
때문에 발생하는 자연스러운 결과입니다.
핵심적인 이유는 다음과 같습니다.
1. 지수가 짝수인 자연수일 때 (k = 2, 4, 6, ...)
이 경우, 무한급수의 합은 항상 파이(π)의 거듭제곱과 유리수의 곱으로 표현되는 '닫힌 형식(closed-form)'의
해답이 존재한다는 것이 증명되었습니다.
* Σ(1/n²) = π²/6
* Σ(1/n⁴) = π⁴/90
* Σ(1/n⁶) = π⁶/945
TI-Nspire와 같은 공학용 계산기에 내장된 CAS(Computer Algebra System)는 이러한 공식들을 알고 있습니다.
그래서 지수가 짝수일 때는 이 공식에 따라 기호적으로 계산된 정확한 참값(exact value)을 출력할 수 있는
것입니다.
2. 지수가 홀수인 자연수 또는 실수일 때 (k = 3, 5, ... 또는 실수)
이 경우들에서는 π와 같은 기본 상수를 사용해 간단하게 표현되는 '닫힌 형식'의 해답이 현재까지 알려져 있지
않습니다.
* Σ(1/n³) = 아페리 상수 (약 1.202...)
* Σ(1/n⁵) = ? (닫힌 형식이 알려져 있지 않음)
수학적으로 아직 간단한 공식이 발견되지 않았기 때문에, 계산기의 CAS도 이를 기호적으로 계산하여 '참값'으로
표현할 방법이 없습니다. 계산기는 "더 이상 간단히 할 수 없다"고 판단하여, 사용자가 입력한 수식을 그대로
결과로 보여주는 것입니다.
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요약
* 짝수 지수: 답을 구하는 공식이 있어서 계산기가 정확한 값을 보여줌.
* 홀수/실수 지수: 답을 구하는 간단한 공식이 알려져 있지 않아서 계산기가 입력값을 그대로 보여줌.
따라서 계산기의 문제가 아니라, 현대 수학에서 아직 해결되지 않은 영역이라고 이해하시면 됩니다. 만약 홀수
지수나 실수 지수에 대한 값을 얻고 싶으시다면, 계산기의 '정확한 값(exact)' 기능이 아닌
'근사치(approximate)' 또는 '수치 계산(numerical calculation)' 기능을 사용하셔야 소수점 형태의 근사값을
얻을 수 있습니다.
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짝수승이 아닌 경우,
무한대를 이용해서는 근사치도 구해지지 않는 듯 합니다.
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저도 이유는 모르겠습니다만, 이렇게 하면 답이 나온다고 합니다.
n과 i가 서로 관련이 없어 보이는데, 영향을 미치는게 신기하네요.