Ti nspire cas cx - 적분값이 왜 안 나오는 걸까요?

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  • 세상의모든계산기 (*.105.205.197) 2024.05.26 14:16 #comment_41157

    아래 답변은 ChatGPT-4o 에게 묻고 받은 답변입니다. 
    AI 답변은 언제고 틀릴 수 있음에 주의하셔야 합니다.  

    ---

    ​​​​

    TI-Nspire 적분 계산

    가끔 TI-Nspire는 적분을 예상대로 계산하지 않고 입력한 식 그대로 반환할 수 있습니다. 가능한 이유와 해결 방법은 다음과 같습니다:
     

    가능한 이유:

    • 복잡한 수식: 적분이 너무 복잡하여 TI-Nspire가 기호적으로 처리할 수 없는 경우입니다.
    • 변수 설정 문제: 적분 변수나 적분 한계가 제대로 설정되지 않았을 수 있습니다.
    • 기호 모드와 수치 모드: TI-Nspire는 기호 계산과 수치 계산을 구분합니다.
    • 펌웨어 또는 소프트웨어 문제: TI-Nspire 소프트웨어 또는 펌웨어의 버그로 인해 계산이 제대로 되지 않을 수 있습니다.
    • 타입 오류: 함수의 인자나 표현식에 잘못된 타입이 포함되어 있을 수 있습니다.
    • 계산 시간 제한: TI-Nspire는 계산 시간 제한이 있어 복잡한 적분이 시간 초과로 실패할 수 있습니다.
       

    해결 방법:

    • 적분 단순화: 적분을 단순화하거나 변수를 대체하여 수식을 더 간단하게 만드세요.
    • 변수 및 한계 확인: 적분 변수가 올바르게 설정되었는지, 적분 한계가 제대로 지정되었는지 확인하세요.
    • 수치 모드 전환: 기호 계산이 실패할 경우 수치 모드로 전환하여 계산해 보세요.
    • 펌웨어/소프트웨어 업데이트: TI-Nspire의 펌웨어나 소프트웨어를 최신 버전으로 업데이트하세요.
    • 타입 확인: 입력한 수식에서 모든 변수가 올바른 타입인지 확인하세요.
    • 적분 나누기: 적분을 부분적으로 나누어 계산하거나, 더 간단한 형태로 변형해 보세요.
       

    예제 해결:

    다음 적분을 고려해 보겠습니다:

    $\[ \int_{0}^{h - r} \frac{1}{(x - h) \sqrt{4x^2 - 8hx + 4h^2 + l^2}} \, dx \]$

    이를 더 간단하게 변형하고 변수를 대체합니다:

    $\[ \int_{0}^{h - r} \frac{1}{(x - h) \sqrt{(2x - 2h)^2 + l^2}} \, dx \]$

    변수 $\( u = 2x - 2h \)$로 변환하면, $\( du = 2dx \)$가 되고 한계는 다음과 같이 변환됩니다:

    • $\( x = 0 \Rightarrow u = -2h \)$
    • $\( x = h - r \Rightarrow u = -2r \)$

    적분은 다음과 같이 변환됩니다:

    $\[ \frac{1}{2} \int_{-2h}^{-2r} \frac{1}{u \sqrt{u^2 + l^2}} \, du \]$

    표준 적분 결과를 사용하여 계산하면:

    $\[ \int \frac{1}{u \sqrt{u^2 + a^2}} \, du = -\frac{1}{a} \arctan\left( \frac{a}{u} \right) \]$

    따라서:

    $\frac{1}{2}{\int }_{-2h}^{-2r}\frac{1}{u\sqrt{u^2+l^2}} du=\frac{1}{2l}\left(\arctan \left(\frac{l}{2r}\right)+\arctan \left(\frac{l}{2h}\right)\right)$

    $$ \frac{1}{2} \int_{-2h}^{-2r} \frac{1}{u \sqrt{u^2 + l^2}} \, du = \frac{1}{2l} \left( \arctan\left( \frac{l}{2r} \right) + \arctan\left( \frac{l}{2h} \right) \right) $$

     

    추가 문제:

    TI-Nspire가 여전히 적분을 계산하지 못할 경우, 더 세분화하거나 수치 적분을 사용해 보세요.

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  • 세상의모든계산기 (*.105.205.197) 2024.05.26 14:36 #comment_41160

    ChatGPT 답변을 보니
    제가 하는 답변보다 훨씬 더
    1. 정확하고?
    2. 구체적이고 
    3. 친절하게 이것저것 다 알려주고 
    4. 무엇보다 수학을 잘 하는 것 같네요. 
    근데... 답변이 맞긴 하겠죠? 책에 나온 문제라면 플이와 같은가요?

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  • 세상의모든계산기 (*.105.205.197) 2024.05.26 14:51 #comment_41163

    ChatGPT 의 Guide를 따라서 하면 

    적분기호가 풀리긴 하는데, 수식 표현 형식이 다릅니다. 

    

    이 부분 때문에 차이가 나는데, 
    어떻게 해도 arctan 형식으로 바꿀 수는 없더라구요. 

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  • 세상의모든계산기 (*.105.205.197) 2024.05.26 15:11 #comment_41171

    울프람 알파에게 물어보니 
    https://www.wolframalpha.com/input?i=Integrate%5B1%2F%28u+Sqrt%5Bu%5E2+%2B+a%5E2%5D%29%2C+u%5D

    ChatGPT-4o와는 조금 다른 결과가 나왔습니다. arctan 이 아니고 ArcTanh 이 나왔습니다.
    같은 값일까요? 다른 값일까요?

    

     

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  • 세상의모든계산기 (*.105.205.197) 2024.05.26 16:04 #comment_41178

    

    부정적분 결과 값을 이용해서 테스트를 해 보겠습니다. 

    a=1, u=[1,2] 일때 정적분 값을 비교해 보면 

    
     

    

    

    실제 적분 값
    = nspire 답
    = wolframalpha 답 
    ≠ chatGPT 답 (와... 속을뻔 했넹)

    그리고 wolfram alpha 의 부정적분은 arctanh() 를 이용한 수식인데, 
    중간 계산값에 복소수(i)가 끼어들기 때문에 nspire 는 웬지 이런 방향으로 적분 결과를 내놓지는 않을 것 같습니다. 
    * 그정도 수준까지는 알고리즘이 짜여있지 않은 듯 합니다. 
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  • 세상의모든계산기 (*.105.205.197) 2024.05.26 16:14 #comment_41184

    결론

    1. ChatGPT 의 답변은 어느 정도 쓸만하다. 다만 거짓말이 섞여있을 수 있으니 취사선택이 필수이다. 

    • 적분 단순화: 적분을 단순화하거나 변수를 대체하여 수식을 더 간단하게 만드세요. -> 이 부분은 실제 도움이 되었습니다.

    2. TI-nspire 에서 적분이 안될 때는 수식을 변형(치환 등)하여 입력하여 문제를 해결할 수(도) 있다.
    다만, 그 결과가 딱 원하는 형식으로 표현되지는 않을 수 있다. 

    3. Wolfram Alpha 는 아직까지는 짱이다.

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  • 세상의모든계산기 (*.105.205.197) 2024.05.26 16:19 #comment_41187

    Gemini에게 재질문해 보았습니다. 

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    이게 맞는 수식이니? $\[ \int \frac{1}{u \sqrt{u^2 + a^2}} \, du = -\frac{1}{a} \arctan\left( \frac{a}{u} \right) \]$

    ---

     

     

    네, 제시된 수식은 정확합니다.

    적분값을 도출하는 과정

    1. 삼각 치환: u=asec(θ) 로 변환합니다.
    2. 미분 방정식: du=asec(θ)tan(θ)dθ 를 얻습니다.
    3. 변수 치환: 적분 식에 치환하면 다음과 같이 됩니다.$\[ \int \frac{1}{u \sqrt{u^2 + a^2}} \, du = \int \frac{1}{a\sec(\theta) \sqrt{(a\sec(\theta))^2 + a^2}} \, a\sec(\theta)\tan(\theta) d\theta \]$
    4. 단순화:
       $\[ \int \frac{1}{a\sec(\theta)\sqrt{a^2\sec^2(\theta) + a^2}} \, a\sec(\theta)\tan(\theta) d\theta = \int \frac{\cancel{a\sec(\theta)}\tan(\theta)}{\cancel{a\sec(\theta)}\sqrt{\sec^2(\theta) + 1}} \, d\theta \]$
       $\[ = \int \frac{\tan(\theta)}{\sqrt{\sec^2(\theta) + 1}} \, d\theta \]$
    5. 정적분:
       $\[ \int \frac{\tan(\theta)}{\sqrt{\sec^2(\theta) + 1}} \, d\theta = \sec^{-1}(\theta) + C \]$
    6. 역 치환: u=asec(θ) 를 다시 적용하면 다음과 같습니다.$\[ \sec^{-1}(\theta) + C = \sec^{-1}\left(\frac{u}{a}\right) + C \]$
    7. 정리:
       $\[ \int \frac{1}{u \sqrt{u^2 + a^2}} \, du = -\frac{1}{a} \arctan\left( \frac{a}{u} \right) + C \]$

    참고:

    • 적분 과정에서 삼각 함수의 항등식을 사용했습니다.
    • 적분 상수 C 는 미정적분 상수입니다.
    • 이 수식은 u≠0 에 대한 적분값을 나타냅니다.

    결론:

    제시된 수식은 u≠0 에서 $u\sqrt{u^{2}+a^{2}}$함수의 적분값을 정확하게 나타냅니다.

    주의:

    • 적분 과정에서 삼각 치환을 사용하기 전에 적분 대상 함수가 삼각 함수로 표현될 수 있는지 확인해야 합니다.
    • 적분 상수 C 는 문제의 조건에 따라 결정해야 합니다.
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  • 세상의모든계산기 (*.105.205.197) 2024.05.26 16:42 #comment_41190

    물어볼 때마다 이게 맞다고 했다가 저게 맞다고 했다가
    아주 난장판이네요.

     

    "정확한 답 그리고 오답의 이유"에 대해서는
    수학 잘하시는 분께 여쭤봐야 할 듯. 전 몰라요.  

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