네, 제시된 수식은 정확합니다.

적분값을 도출하는 과정

1. 삼각 치환: u=asec(θ) 로 변환합니다.
2. 미분 방정식: du=asec(θ)tan(θ)dθ 를 얻습니다.
3. 변수 치환: 적분 식에 치환하면 다음과 같이 됩니다.$\[ \int \frac{1}{u \sqrt{u^2 + a^2}} \, du = \int \frac{1}{a\sec(\theta) \sqrt{(a\sec(\theta))^2 + a^2}} \, a\sec(\theta)\tan(\theta) d\theta \]$
4. 단순화:
   $\[ \int \frac{1}{a\sec(\theta)\sqrt{a^2\sec^2(\theta) + a^2}} \, a\sec(\theta)\tan(\theta) d\theta = \int \frac{\cancel{a\sec(\theta)}\tan(\theta)}{\cancel{a\sec(\theta)}\sqrt{\sec^2(\theta) + 1}} \, d\theta \]$
   $\[ = \int \frac{\tan(\theta)}{\sqrt{\sec^2(\theta) + 1}} \, d\theta \]$
5. 정적분:
   $\[ \int \frac{\tan(\theta)}{\sqrt{\sec^2(\theta) + 1}} \, d\theta = \sec^{-1}(\theta) + C \]$
6. 역 치환: u=asec(θ) 를 다시 적용하면 다음과 같습니다.$\[ \sec^{-1}(\theta) + C = \sec^{-1}\left(\frac{u}{a}\right) + C \]$
7. 정리:
   $\[ \int \frac{1}{u \sqrt{u^2 + a^2}} \, du = -\frac{1}{a} \arctan\left( \frac{a}{u} \right) + C \]$

참고:

• 적분 과정에서 삼각 함수의 항등식을 사용했습니다.
• 적분 상수 C 는 미정적분 상수입니다.
• 이 수식은 u≠0 에 대한 적분값을 나타냅니다.

결론:

제시된 수식은 u≠0 에서 $u\sqrt{u^{2}+a^{2}}$함수의 적분값을 정확하게 나타냅니다.

주의:

• 적분 과정에서 삼각 치환을 사용하기 전에 적분 대상 함수가 삼각 함수로 표현될 수 있는지 확인해야 합니다.
• 적분 상수 C 는 문제의 조건에 따라 결정해야 합니다.