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위 계산에서 각 단계에 사용된 수학적 원리나 공식을 정리하면 다음과 같습니다:

1. **원래 방정식**:
   \[-25(1+m)^2 + 15(1+m) + 18 = 0\]

2. **다항식 전개**:
   첫 번째 항인 \((1+m)^2\)을 전개합니다.
   \[(1+m)^2 = 1 + 2m + m^2\]

3. **각 항에 상수 곱하기**:
   전개된 식을 이용하여 원래 식을 다시 씁니다.
   \[-25(1+m)^2 + 15(1+m) + 18 = -25(1 + 2m + m^2) + 15(1 + m) + 18\]
   \[-25(1 + 2m + m^2) + 15(1 + m) + 18\]

4. **곱셈 분배법칙**:
   각 항을 분배법칙을 사용하여 전개합니다.
   \[-25 \cdot 1 - 25 \cdot 2m - 25 \cdot m^2 + 15 \cdot 1 + 15 \cdot m + 18\]
   \[-25 - 50m - 25m^2 + 15 + 15m + 18\]

5. **같은 종류의 항끼리 합산**:
   상수항과 m항, m^2항을 각각 합산합니다.
   \[-25 + 15 + 18 = 8\]
   \[-50m + 15m = -35m\]
   \[-25m^2\]
   따라서,
   \[-25m^2 - 35m + 8 = 0\]

6. **이차방정식 표준형으로 정리**:
   \[-25m^2 - 35m + 8 = 0\]를 \(25m^2 + 35m - 8 = 0\)로 정리합니다. 여기서 부호가 바뀌는 이유는 양변에 -1을 곱했기 때문입니다.

7. **인수분해**:
   이차방정식을 인수분해합니다.
   \[25m^2 + 35m - 8 = 0\]
   인수분해 결과:
   \[(5m - 1)(5m + 8) = 0\]

8. **이차방정식의 해**:
   인수분해 결과를 이용하여 각각의 해를 구합니다.
   \[5m - 1 = 0 \quad \text{또는} \quad 5m + 8 = 0\]
   \[m = \frac{1}{5} \quad \text{또는} \quad m = -\frac{8}{5}\]

각 단계에 사용된 주요 수학적 원리와 공식을 요약하면 다음과 같습니다:
- **다항식 전개**: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
- **곱셈 분배법칙**: \(a(b+c) = ab + ac\)
- **동류항 합산**: 같은 차수의 항을 합침
- **이차방정식 인수분해**: \(ax^2 + bx + c\)를 \((px + q)(rx + s)\) 형태로 변환
- **방정식의 해 구하기**: 인수분해된 식을 각각의 인수에 대해 0으로 두고 해를 구함