[공학용 계산기] 각도 설정 : Angle (Degree / Radian / Gradian)
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- 2024.10.23 - 18:45 2015.02.03 - 09:02 49702 3
공학용 계산기를 처음 사용하는 대학신입생이나, 자격증 공부를 시작한 수험생들이 가장 먼저 부딛히는 오류중 하나가
바로 각도설정에 대해 알지 못하고 계산기를 사용하면서 발생하는 오류입니다.
설명서를 먼저 읽지 않으니, 그런 설정이 있는지 모를 수밖에 없고,
그러니 "나는 입력을 제대로 했는데, 계산기가 이랬다 저랬다 이상한 결과를 낸다"라며 고장났다고 생각하게 되는 것입니다.
함수나 연산 기호 중에서 각도를 인수로 사용하는 것에는 삼각함수(예: sin, cos, tan)와 쌍곡선 함수(예: sinh, cosh, tanh)가 있습니다.
또한, 각도값을 결과로 반환하는 함수로는 역삼각함수(예: arcsin, arccos, arctan)와 역쌍곡선 함수(예: arcsinh, arccosh, arctanh)가 있습니다.
이들 함수에서 사용하는 각도 단위는 세 가지로, 도(Degree), 라디안(Radian), 그라디안(Gradian)입니다.
공학용 계산기에서는 이 세 단위를 모두 지원합니다.
보통의 사람들은 이 세 단위 중 한가지만을 주로 사용합니다.
그래서 일상생활에서는 각도 단위를 종종 생략하는 경우가 많습니다.
생략하더라도 나는 착각할 일이 없고, 다른 사람이 보더라도 대개 문맥에 따라 단위를 적당히 유추할 수 있기 때문입니다.
하지만 각도 단위에 따라 계산의 결과는 크게 달라질 수 있기 때문에, 단위를 함부러 생략해서는 안 됩니다.
실제로, NASA의 우주선이 단위 착오로 인해 사고가 난 사례도 있듯이, 정확한 단위 사용은 필수입니다.
단위를 생략할 수 있는 경우는 ‘특정 단위를 미리 약속한 경우’나, ‘오해의 여지가 없는 상황’에서만 가능합니다.
항상 각도 단위를 입력하게 한다면 실수는 줄어들 수 있을지 모르지만, 각도를 찾아 입력해야하는 불편함은 상당할 수 있습니다.
그래서 대부분의 공학용 계산기는 사전설정을 통해 (기본) 각도를 어떤 단위로 할 것인지를 지정하며,
계산기 사용 중에는 설정된 각도 단위를 별도로 표시하지 않고 생략하여 입력/표시하여 편리함을 얻는 것이 일반적입니다.
1. 각도(Angle) 설정하기
설정화면으로 들어가서
TI-NSPIRE : 【doc▼】【7】【2】
TI-89T : 【MODE】 Angle.............................. RADIAN →
CASIO : 【SHIFT】【MENU】 또는 【SHIFT】【MODE】 또는 【MODE연타】
ㄴ 기종에 따라 다름
Angle 단위를 설정합니다.
2. 각도설정(단위)의 표시 - 마크
생략된 각도단위는 화면에 보이지 않기 때문에, 혼란을 막기 위해 화면서 계산기 화면 상단에 설정된 각도(Angle) 단위가 표시됩니다. (일부 계산기에서는 표시되지 않을 수도 있습니다.)
3. 각도단위의 사용 (입력 or 출력)
3-1. 각도의 입력
계산중 각도입력에 단위를 생략하면, 기본 설정된 단위가 자동으로 입력됩니다. 하지만 단위를 명시하여 입력하면, 기본설정을 무시하고 입력한 단위로 강제계산을 합니다.
└ 각도 단위를 수동으로 입력할 수 있는 계산기만 이에 해당합니다.
3-2. 각도의 출력 (결과가 각도인 경우)
혹은 계산 결과가 각도인 경우에는 기본 설정된 단위로 결과가 출력됩니다. 이 때도, 각도 기호는 생략됩니다.
출력된 각도 결과를 다른 단위로 변환하고 싶은 경우에는, 설정화면으로 가서 기본 각도 단위 설정을 변경하고, 계산화면으로 돌아와 재계산하면 변경된 단위로 출력이 됩니다. 아무래도 번거롭기 때문에 한가지 단위로만 꾸준히 사용하시고 그 단위에 익숙해지는 방법을 선택하시는게 바람직해 보입니다.
1회성 계산
- 내장함수가 있는 경우 내장함수 이용
- (Degree)×(π/180) ⇒ Radian
- (Radian)×(180/π) ⇒ Degree
4. 계산기별 설정법 링크
CASIO
- [fx-570][fx-350] http://www.allcalc.org/6581
- [fx-5800P] http://www.manualslib.com/manual/25897/Casio-Fx-5800p.html?page=13
- [fx-9860G] http://www.allcalc.org/6141
SHARP
- [EL-509X] https://allcalc.org/7712
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댓글3
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세상의모든계산기
각도 설정에 따라서 위 스샷처럼 결과값에 차이가 발생할 수도 있습니다.
공학용 계산기에서는 radian 모드가 보다 보편적으로 사용됩니다.
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세상의모든계산기
1. 0.4 * π 라디안 = 72 ˚(도) 이건 아시죠?
2. 여기서 0.4는 숫자고, π도 숫자고, 72도 숫자입니다. 라디안이라는 것과 도라는 것은 각도의 단위이구요.숫자 와 단위를 구분하여 보셔야 합니다.
사람은 "π가 들어갔으니 라디안인가보다" 하는 판단을 할 수 있지만, 계산기는 "π 는 π다"(="숫자를 나타내는 기호다") 라고 판단을 한다는 것입니다.
즉, π ˚(도) = 3.14159....˚(도) 가 될 수 있는 것입니다.
3. 계산기는 본질적으로 수학적 도구이기 때문에 편리함/단순함/빠름 을 추구합니다. 그래서 공학계산기에서는 각도 단위를 미리 설정하도록 하고, 각도의 단위는 입력시 생략하도록 하였습니다. (각도 단위 찾아 넣으려면 귀찮잖아요)
그래서 Degree 모드에서는 파이가 들어와도 무조건 ˚(도)로 인식합니다. Radian 모드에서는 반대로 60 90 같은 숫자도 무조건 라디안으로 인식하구요.
Degree 모드 설정에서
sin(0.4*π) 를 입력하면 sin(0.4*π ˚)=sin(1.2566370614359 ˚) 가 계산이 되는 것이고, 강제로 단위를 붙여서 sin(0.4*π rad) 로 입력하면 Degree 설정을 무시하고 라디안으로 계산하는 것입니다. 이 때 계산 결과는 sin(72˚) 와 같을테니,결국 둘의 차이는 sin(1.2566370614359 ˚) 와 sin(72 ˚)의 차이입니다.
세상의모든계산기 님의 최근 댓글
Gemini-2.5-pro 답변 ✦ 현대 컴퓨터 대수 시스템(CAS) 계산기에 탑재된 solve 기능의 일반적인 내부 동작 원리에 대해 설명해 드리겠습니다. 현대 CAS의 solve 기능은 단순히 하나의 알고리즘으로 작동하는 것이 아니라, 마치 '순수 수학자'와 '문제 해결 공학자'가 협력하는 것처럼, 여러 단계에 걸친 정교한 '하이브리드(Hybrid)' 방식으로 동작합니다. solve 함수의 작동 과정 1단계: 기호적 해법 (Symbolic Solver) - '순수 수학자'의 접근 계산기는 가장 먼저 방정식을 대수적으로, 즉 정확한 수학적 해를 찾으려고 시도합니다. 이 단계는 마치 사람이 공식을 이용해 문제를 푸는 과정과 같습니다. 1. 방정식 분석: solve 명령을 받으면, 시스템은 먼저 입력된 방정식의 구조를 분석합니다. (예: 이것이 다항식인가? 삼각방정식인가? 로그방정식인가?) 2. 규칙 기반 풀이: 분석된 구조에 따라, 시스템은 내장된 방대한 수학 규칙 라이브러리를 적용합니다. * 선형/이차 방정식: ax+b=c 나 ax²+bx+c=0 같은 형태는 이항, 인수분해, 근의 공식 등을 이용해 즉시 풉니다. * 고차 다항식: 인수분해, 조립제법 등의 규칙을 적용하여 유리수 해를 찾습니다. * 삼각방정식: sin(x) = 0.5 와 같은 경우, x = nπ + (-1)ⁿ * (π/6) 와 같이 주기성을 고려한 일반해 공식을 적용합니다. * 기타: 로그, 지수 법칙 등 해당 방정식에 맞는 대수적 풀이법을 총동원합니다. 3. 결과: 이 단계에서 해를 찾으면, 1.414... 와 같은 근사값이 아닌 √2 나 π/3 와 같은 정확한 기호 형태의 해를 반환합니다. > 강점: 수학적으로 완벽하고 정확한 해를 제공합니다. > 한계: 대수적인 풀이법이 알려져 있지 않은 방정식(예: cos(x) = x 또는 eˣ = x+2)은 풀 수 없습니다. --- 2단계: 수치적 해법 (Numerical Solver) - '문제 해결 공학자'의 접근 만약 1단계의 '순수 수학자'가 "이건 공식으로 풀 수 없어"라고 결론 내리면, solve 기능은 포기하지 않고 2단계인 '문제 해결 공학자'에게 문제를 넘깁니다. 이 단계의 목표는 정확한 해는 아니더라도, 매우 정밀한 근사해를 찾는 것입니다. 1. 반복적 탐색: 수치적 해법은 방정식을 직접 푸는 것이 아니라, 해가 있을 만한 지점에서부터 시작하여 반복적인 계산을 통해 해에 점점 더 가까워지는 방식을 사용합니다. * 적당한 값을 추측해서 대입해 봅니다. * 결과가 0보다 큰지 작은지에 따라, 다음 추측값을 어느 방향으로 수정할지 결정합니다. * 이 과정을 수없이 반복하여 오차가 거의 0에 가까워질 때까지 해를 좁혀나갑니다. 2. 핵심 알고리즘: 이때 사용되는 대표적인 알고리즘은 다음과 같습니다. * 뉴턴-랩슨법 (Newton-Raphson Method): 미분(접선)을 이용하여 매우 빠른 속도로 해에 수렴하는 강력한 방법입니다. * 이분법 (Bisection Method): 해가 존재하는 특정 구간을 계속 절반으로 나누어 범위를 좁혀나가는 방식으로, 속도는 느리지만 안정적으로 해를 찾을 수 있습니다. 3. 결과: 이 단계가 성공하면, 시스템은 0.739085133215 와 같이 소수점 아래 여러 자리까지 표현되는 매우 정밀한 부동소수점 형태의 근사해를 반환합니다. > 강점: 대수적으로 풀 수 없는 복잡한 방정식의 해도 근사적으로 찾아낼 수 있습니다. > 한계: 근사해이며, 알고리즘의 특성상 특정 조건(예: 해가 중근을 갖는 경우)에서는 해를 찾지 못하고 실패할 수도 있습니다. 결론: 왜 하이브리드 방식인가? 분석 → 기호적 풀이 시도 → (실패 또는 불가능 시) → 수치적 풀이로 전환 이처럼 현대 CAS의 solve 기능은 정확성(기호적 해법)과 범용성(수치적 해법)이라는 두 마리 토끼를 모두 잡기 위해 설계된 정교한 협력 시스템입니다. 먼저 가장 이상적인 '정확한 해'를 추구하되, 그것이 불가능할 경우 차선책으로 '정밀한 근사해'라도 찾아내어 사용자에게 최대한의 결과를 제공하는 것입니다. 2025 10.17 hp prime 이 solve 함수에서 해를 찾는데 어떤 방법(method)을 사용하는지 공식적인 무서로 정확하게 파악되진 않습니다. 2025 10.17 참고 x=guess 는 iterative 방식(일반적으로는 newton's method를 의미함)을 x=xmin .. xmax 는 bisection 방식을 사용하는 듯 합니다. // 구간지정 개념과는 차이가 있는 듯? 2025 10.17 HP Prime 에 적용 방법1) ㄴ 검증 필요해서 번거로움 방법2) ㄴ 1에 너무 가까우면 안나오고 적당히 떨어져 있어야 하는 듯 함. ㄴ 오차가 약간 발생함. 방법3) ㄴ TRACE : 정밀하지 않음 ㄴ Intersection : 약간 시간 걸림 & 오차 발생할 수 있음. 2025 10.17 Gemini-2.5-pro 답변 ✦ HP Prime 계산기의 solve 함수가 sin(x) = 1과 같은 특정 값의 해를 찾지 못하는 문제에 대해 문의하셨군요. sin(x)=1/2에서는 정상적으로 동작하는데 sin(x)=1에서는 빈 결과([])가 나오는 현상은 해당 계산기 또는 유사한 CAS(Computer Algebra System)에서 나타날 수 있는 동작입니다. 이 문제의 원인과 해결 방법을 자세히 설명해 드리겠습니다. 문제의 원인: 수치 해석 알고리즘의 한계 HP Prime의 solve 기능은 내부적으로 수치 해석 알고리즘을 사용하여 해를 찾습니다. 많은 경우, 이 알고리즘은 방정식의 해를 찾기 위해 함수 값의 부호가 바뀌는 지점(sign change)을 탐색합니다. 1. `sin(x) = 1/2`의 경우 (정상 작동): * 이 방정식은 f(x) = sin(x) - 1/2가 0이 되는 x를 찾는 것과 같습니다. * f(x) 함수의 그래프는 해가 되는 지점에서 x축을 가로지릅니다. 즉, 함수 값이 음수(-)에서 양수(+)로, 또는 양수(+)에서 음수(-)로 부호가 명확하게 바뀝니다. * solve 알고리즘은 이 부호 변화를 감지하여 해를 성공적으로 찾아냅니다. 2. `sin(x) = 1`의 경우 (문제가 발생하는 경우): * 이 방정식은 f(x) = sin(x) - 1이 0이 되는 x를 찾는 것과 같습니다. * sin(x)의 최댓값은 1이므로, f(x) 함수는 항상 0보다 작거나 같습니다 (f(x) ≤ 0). * 따라서 f(x) 그래프는 해가 되는 지점(x = π/2, -3π/2 등)에서 x축에 접할 뿐, 가로지르지 않습니다. * 결과적으로 함수 값의 부호 변화가 발생하지 않으므로, 부호 변화를 기반으로 해를 찾는 알고리즘은 해가 존재함에도 불구하고 이를 감지하지 못하고 빈 결과를 반환할 수 있습니다. 이는 solve 함수의 버그라기보다는, 특정 유형의 문제(함수가 x축에 접하는 경우)에 대한 수치 해석 알고리즘의 본질적인 한계에 가깝습니다. 해결 방법 이러한 문제를 우회하여 정확한 해를 찾는 몇 가지 방법이 있습니다. 방법 1: 미분을 이용해 극점 찾기 (가장 안정적인 방법) sin(x) = 1이 되는 지점은 sin(x) 함수의 극대점(local maximum)입니다. 함수의 극점은 도함수(derivative)가 0이 되는 지점에 존재하므로, 다음 단계를 따를 수 있습니다. 1. 도함수가 0이 되는 지점 찾기: sin(x)의 도함수는 cos(x)입니다. 따라서 먼저 cos(x) = 0의 해를 구합니다. 1 solve(cos(x) = 0, x = ((-2*π) .. (2*π))) 이 명령은 결과로 -3π/2, -π/2, π/2, 3π/2에 해당하는 숫자 값들을 반환할 것입니다. (예: [-4.712..., -1.570..., 1.570..., 4.712...]) 2. 후보 값들을 원래 함수에서 확인하기: 위에서 찾은 x 값들을 원래 함수 sin(x)에 대입하여 값이 1이 되는지 확인합니다. * sin(-3π/2) → 1 (정답) * sin(-π/2) → -1 * sin(π/2) → 1 (정답) * sin(3π/2) → -1 이 방법을 통해 원하는 구간 내의 모든 정확한 해(-3π/2와 π/2)를 찾을 수 있습니다. 방법 2: 근사값 이용하기 1 대신 1에 아주 약간 작은 값(예: 0.999999999)을 사용하여 방정식을 풀면, 함수가 x축을 미세하게 가로지르게 되어 solve 알고리즘이 해를 찾을 수 있습니다. 1 solve(sin(x) = 0.999999999, x = ((-2*π) .. (2*π))) 이 방법은 π/2와 -3π/2에 매우 가까운 근사해를 제공합니다. 방법 3: 그래프 기능 활용 1. 함수 플로터(Function plotter)에서 Y1 = sin(X)와 Y2 = 1을 입력하여 두 함수의 그래프를 그립니다. 2. 그래프 상에서 두 함수가 만나는 점(교점)을 시각적으로 확인하거나, 계산기의 교점 찾기(Intersection) 기능을 사용하여 정확한 x 좌표를 찾습니다. 이러한 방법들을 활용하시면 HP Prime 계산기에서 sin(x)=1과 같은 방정식의 해도 성공적으로 구하실 수 있습니다. 2025 10.17