[일반 계산기] 세제곱근 구하기. 방법#1, 정수제곱근법 & 뉴튼-랩슨법을 이용한 반복계산

일반(쌀집) 계산기

[일반 계산기] 세제곱근 구하기. 방법#1, 정수제곱근법 & 뉴튼-랩슨법을 이용한 반복계산

- 세상의모든계산기
  *.78.140.87
- 2024.10.14 - 10:07 2015.01.18 - 00:43 25090 15

세제곱근 버튼이 없는 일반 계산기로 세제곱근을 구할 수 있을까요?

$$ \sqrt[3]{a} = ? $$

구할 방법이 없는 것은 아니지만, 누군가 물어본다면 "일반 계산기로는 세제곱근을 구할 수 없다"고 말하는게 좋겠습니다.

왜냐하면 직접 그 값을 구하는 것도 쉽지 않을 뿐 아니라, 상대방을 이해시키는 것도 쉽지 않기 때문입니다.

그래도 그 방법을 알고 싶으시다면... 계속 읽어보세요.

따라하실 분은 자릿수가 최대한 많은 계산기로 따라하시구요.

반올림 설정하시고, 자릿수는 F로 설정하세요.

방법1 : 계산기 정수 제곱근법을 이용

1. 처음 1회만 입력할 버튼순서 : 【a】【√】【√】

2. 계속 반복하여 입력할 버튼 순서 : 【×】【a】【=】【√】【√】

반복입력하는 버튼의 순서는 계산기의 상수계산 방식에 따라 다를 수 있습니다. (Casio vs Sharp)
이 방법에는 계산기의 루트 기능이 반드시 필요합니다.
12자리 계산기로 대략 19회 ~ 20회 정도 반복하면 최종 결과가 얻어집니다. (정답을 찾을 때)
총 버튼 입력 횟수 = 3+(5×20) = 103회
※ 단순히 근사값으로 충분한 경우에는 5회~6회 반복으로 만족하는게 좋습니다.
위의 방식을 확장하면, 7제곱근(7=2^3-1)이나, 15제곱근(=2^4-1) 등을 구할 수도 있습니다.
제곱이 반복될수록 반복해 입력할 버튼횟수는 반대로 줄어듭니다.

예제 동영상) 0.1의 세제곱근

위 계산 결과는 아래와 같이 정답에 수렴해 갑니다.

$ \sqrt[3]{0.1} = 0.4641588833612... $

방법2 : 뉴튼 랩슨법 Newton-Raphson Method 을 이용

1. 초기값 (대략 추정하여) 입력 【CM】【M+】

2. 이후에 반복 : 【=】【=】【×】【2】【+】【a】【÷】【3】【÷】【RM】【=】【=】【CM】【M+】
└ 위 반복입력식은 (일반)계산기의 "상수계산" 방식에 따라 달라질 수 있습니다. (Casio vs Sharp)

이 방법은 루트 버튼은 필요 없지만, 메모리 M 기능이 필요합니다.
반복 순서를 외우는게 좀 복잡하지만 방법1보다는 입력횟수가 조금 적습니다.
대략 5~6회 정도 반복하면 최종 결과가 얻어집니다.
(6회 반복시 총 버튼 입력 횟수 = 1 + 15*6 = 91회)

이게 정말 될까?

예제 동영상) 7의 세제곱근을 구하는 동영상입니다.

근데... 이걸 왜 하고 있는거죠??

n제곱근을 구하는 다른 접근 방법 - 로그 성질의 활용

https://allcalc.org/49753

#세제곱근 #n제곱근 #쌀집계산기 #일반계산기 #뉴튼-랩슨 #Newton-Raphson

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세상의모든계산기 Lv. 25

계산기는 거들 뿐
혹은
계산기를 거들 뿐

- 세상의모든계산기 (*.78.140.87) 2015.01.18 01:08 #comment_2664
  
  네제곱근법의 원리
  
  Attached file
  K-196.png 3.6KB / 226 daum_equation_1417580525885.png 7.5KB / 242 daum_equation_1417576372675.png 2.8KB / 208
  
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  댓글
- 세상의모든계산기 (*.78.140.87) 2015.01.18 01:13 #comment_2671
  
  그 외 n제곱근의 계산
  
  이 원리를 확대 적용하면
  
  일반 계산기를 이용해서 (8-1)=7 제곱근 (16-1)=15제곱근... 등등을 비교적 쉽게 구할 수 있습니다.
  
  3, 7, 15, 31, 63, 127, ... (2^n-1)
  
  그리고, 그 값을 활용해 그 외 제곱근도 (일부?) 구할 수 있죠.
  
  제곱근 : 【√】
  
  3제곱근 : 본문 방법으로 구함. (4제곱근의 활용.【√】【√】)
  
  4제곱근 : 【√】【√】
  
  5제곱근 : 15제곱근(【√】【√】【√】【√】)의 3승. // 5 = 15 ÷ 3 (즉, 1/5 = 3 ÷ 15)
  
  6제곱근 : 제곱근 ÷ 3제곱근
  
  7제곱근 : 본문 방법에서 【√】한번 더 추가.
  
  8제곱근 : 【√】【√】【√】
  
  9제곱근 : 3제곱근의 ▶ 3제곱근 으로 구할 수는 있는데... 두번째 세제곱근 구할 때 오차가 커질 수 있음.
  
  10제곱근 : 15제곱근의 ▶ 제곱근의 ▶ 3승
  
  11제곱근 : 1023제곱근(【√】【√】【√】【√】【√】【√】【√】【√】【√】【√】)의 ▶ 93승
  ㄴ 오히려 쉬울 수도?
  
  12제곱근 : 3제곱근 ÷ 4제곱근 또는 6제곱근의 ▶ 제곱근
  
  13제곱근 : 4095제곱근 ▶ 315승
  
  ㄴ 그냥 근사값만 구한다면 64제곱근 ▶ 5승 으로 구할 수는 있음.
  
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  댓글
- 세상의모든계산기 (*.78.140.87) 2015.01.18 14:44 #comment_2721
  
  2^8=256 이니까
  255제곱근을 구할 수가 있구요
  255 = 3 * 5 * 17
  $∴ \sqrt[17]{a} = {(\sqrt[255]{a})}^{3 \times 5}$
  
  같은 방식으로
  2^10 - 1 = 11 * 93
  2^12 - 1 = 13 * 315
  2^18 - 1 = 19 * 13797
  2^22 - 1 = 23 * 182361
  2^28 - 1 = 29 * 9256395
  
  32 제곱근까지는 모두 일단 이론적으로는 구할 수가 있는 걸로 나오는데...
  
  아무리 일반 계산기에 상수계산(반복계산) 기능이 있어서 수백번까지야 무리해서 한다고 하더라도
  그 이상 반복횟수가 많아지면 계산기의 마지막 자릿수 탈락에 의한 오차가 커지고,
  
  입력 횟수를 까먹는 등의 문제가 있어서 실질적으로 참값을 구하는건 불가능하겠습니다.
  
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- 세상의모든계산기 (*.78.140.87) 2015.01.18 15:15 #comment_2728
  
  계산하다 보니까 소수 규칙성이 있네요.
  
  (2를 제외한) 어떠한 소수 p에 대하여 2^(p-1) -1 은 p를 인수로 가지는 것 같습니다.
  (역도 대충은 맞는데, 아닌 것도 몇개 섞여 있네요. 341, 561, 645, 1105, ...)
  
  $p = 1 + \log_{2} (p \times k + 1)$ 이게 뭘까...
  
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- 세상의모든계산기 (*.78.140.87) 2015.01.19 17:09 #comment_2922
  
  (이런 공식이 있었구만...)
  
  http://mathworld.wolfram.com/FermatsLittleTheorem.html
  http://mathworld.wolfram.com/FermatPseudoprime.html
  
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  댓글
- 세상의모든계산기 (*.78.140.87) 2015.01.18 17:16 #comment_2737
  
  위 방식으로 7의 17제곱근을 구해 봤습니다.
  
  255제곱근
  
  17제곱근
  
  공학용 계산기(비교)
  
  1.0076602106307
  
  1.1212737354259
  
  쌀집 계산기
  
  1.00766021062
  
  1.12127373515
  
  255제곱근 구하는 것도 생각보다 빠르고 (반복4회, 53버튼입력)
  그 값의 15승 구하는 것도 생각보다 빠릅니다. (15버튼입력)
  (총 68 버튼입력)
  오차도 생각보다 크지 않구요. 이정도면 만족스럽습니다.
  
  하지만 그 이상은 버튼 입력 횟수가 급격히 늘어나서
  직접 사용하기가 어려울 듯 하네요.
  
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  댓글

세상의모든계산기 (*.78.140.87) 2015.01.18 01:17 #comment_2675

뉴튼 랩슨법 : 일반해를 구하는 방법

http://en.wikipedia.org/wiki/Newton%27s_method

따라서 모든 n제곱근 값을 구할 수 있습니다. (초기값 설정에 따른 오차가능성은 있습니다만...)

$x_{k + 1} = \{{x_{k}}^{n} \times (n - 1) + a\} \div n \div {x_{k}}^{n - 1}$

* 여기서 X_k는 k번째 결과, X_(k+1)은 k+1번째 결과입니다.

제곱근
(초기값)

3제곱근

4제곱근

===

n제곱근

(n-1)번

n-1

(n-1)번

※ 카시오 계산기의 경우 상수 계산 방식이 달라서 입력 횟수와 방식이 약간 다릅니다.

- 세상의모든계산기 (*.165.6.43) 2015.10.07 17:21 #comment_7842
  
  제곱근을 구하는 바빌로니아 (방)법
  
  https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%B0%94%EB%B9%8C%EB%A1%9C%EB%8B%88%EC%95%84_%EB%B2%95
  
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- 세상의모든계산기 (*.165.6.43) 2015.11.07 14:26 #comment_9819
  
  세제곱근풀이(extraction of cubic root )
  
  http://www.scienceall.com/%EC%84%B8%EC%A0%9C%EA%B3%B1%EA%B7%BC%ED%92%80%EC%9D%B4extraction-of-cubic-root/
  
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- 댓글쓴이 (*.108.25.250) 2022.12.15 15:47 #comment_37901
  
  좋은 글 감사합니다. 영상을 보니 【×】【a】【√】【√】【=】 가 아니라 【×】【a】【=】【√】【√】 이네요~^^
  
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  댓글 수정 삭제
- 세상의모든계산기 (*.95.21.182) 2022.12.15 20:36 #comment_37915
  
  그렇네요.
  오류 지적 감사드립니다.
  
  본문 수정하겠습니다.
  
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- 세상의모든계산기 (*.105.205.197) 2023.10.22 21:52 #comment_39509
  
  예시 : 1.7055^(1/7) - 1 = ?
  
  ㄴ (링크) 지식인 질문 & 답변
  
  ㄴ 지수가 1/7로 단순하니 로그 성질을 활용한 방법도 가능합니다. : https://allcalc.org/49753
  
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- 세상의모든계산기 (*.105.205.197) 2024.01.23 12:13 #comment_40072
  
  예시 : 수익률 기하평균
  
  1.1^(1/3) -1 = ?
  
  https://kin.naver.com/qna/detail.naver?d1id=11&dirId=111303&docId=462808027&qb=6rOE7IKw6riw&enc=utf8§ion=kin.qna.all&rank=1&search_sort=3&spq=0
  
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- 세상의모든계산기 (*.105.205.197) 2024.05.24 10:17 #comment_40896
  
  뉴턴-랩슨 방법을 이용한 제곱근 계산
  
  $\text{뉴턴-랩슨 방법을 이용한 제곱근 계산}$
  
  뉴턴-랩슨 방법은 근을 구하는 반복적인 알고리즘입니다. 루트 값을 구하는데 매우 효과적입니다. 예를 들어,
  
  $\sqrt{S}$ 를 구하려고 할 때 다음과 같은 단계를 따릅니다.
  
  1. 초기 추정값 $x_0$ 을 선택합니다. 보통 $S$ 의 절반 값이 괜찮은 초기값입니다.
  
  2. 다음 반복식을 사용하여 새로운 추정값을 계산합니다:
  
  $x_{n+1} = \frac{1}{2} \left( x_n + \frac{S}{x_n} \right)$
  
  3. 원하는 정확도에 도달할 때까지 2단계를 반복합니다.
  
  예시를 들어보겠습니다. $\sqrt{10}$ 를 구하는 과정을 설명하겠습니다.
  
  1. 초기값 $x_0$ 을 5로 설정합니다 (10의 절반).
  
  2. 첫 번째 반복:
  
  $x_1 = \frac{1}{2} \left( 5 + \frac{10}{5} \right) = \frac{1}{2} (5 + 2) = \frac{1}{2} \cdot 7 = 3.5$
  
  3. 두 번째 반복:
  
  $x_2 = \frac{1}{2} \left( 3.5 + \frac{10}{3.5} \right) = \frac{1}{2} \left( 3.5 + 2.857 \right) \approx \frac{1}{2} \cdot 6.357 = 3.1785$
  
  4. 세 번째 반복:
  
  $x_3 = \frac{1}{2} \left( 3.1785 + \frac{10}{3.1785} \right) \approx \frac{1}{2} \cdot 6.3167 = 3.1584$
  
  5. 네 번째 반복:
  
  $x_4 = \frac{1}{2} \left( 3.1584 + \frac{10}{3.1584} \right) \approx \frac{1}{2} \cdot 6.3246 = 3.1623$
  
  이 과정을 반복하면 원하는 정확도에 도달할 때까지 계속 계산할 수 있습니다. 일반적으로 4~5번 정도 반복하면 소수점 이하 몇 자리까지 정확한 값을 얻을 수 있습니다.
  
  이 방법을 사용하면 일반 계산기에서도 루트 값을 구할 수 있습니다. 몇 번의 반복을 통해 상당히 정확한 값을 얻을 수 있습니다.
  
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- 세상의모든계산기 (*.40.137.167) 2024.10.05 14:19 #comment_49152
  
  예시 : 5제곱근 구하기. $ \sqrt[5]{123} $
  
  계산 순서 ⓐ 15제곱근을 구하고, ⓑ 그 값을 3제곱
  
  ⓐ 15제곱근 값 구하기 (3회 반복, 루트 기능 이용)
  
  키 입력 : 【123】【√】【√】【√】【√】
  
  (√123 = 11.090536506409)
  (√11.090536506409 = 3.3302457126178)
  (√3.3302457126178 = 1.8248960826901)
  (√1.8248960826901 = 1.3508871465412)
  
  키 입력 : 【×】【123】【=】【√】【√】【√】【√】
  1.3508871465412 × 123 = 166.15911902457
  (√166.15911902457 = 12.890272263400)
  (√12.890272263400 = 3.5903025309018)
  (√3.5903025309018 = 1.8948093653193)
  (√1.8948093653193 = 1.3765207464180)
  
  키 입력 : 【×】【123】【=】【√】【√】【√】【√】
  
  1.3765207464180 × 123 = 169.31205180941
  (√169.31205180941 = 13.011996457478)
  (√13.011996457478 = 3.6072145011737)
  (√3.6072145011737 = 1.8992668325366)
  (√1.8992668325366 = 1.3781389017572)
  
  ㄴ 3회 반복하여 파란색 결과에서 멈추었습니다.
  
  ㄴ 횟수가 반복될수록 더 정확한 값에 수렴합니다만, 득실관계(trade-off)를 따져야 합니다. 시간투자 + 버튼 입력 실수 가능성.
  
  ⓑ 3제곱 값 구하기 (상수계산 기능 이용)
  
  (Non-K 타입) 키 입력 : 【×】【=】【=】
  
  1.3781389017572 × = 1.8992668325365 // ⓐ의 제곱 값
  × 1.3781389017572 = 2.6174535067357 // ⓐ의 세제곱 값
  
  ⓒ 참값과 ⓑ의 결과 값 비교 (오차율 확인, 꼭 확인할 필요는 없음)
  
  0.02% 오차면 잘 구해졌죠.
  
  주의 : 키 입력 순서나 방법 그리고, 결과값의 오차수준은 계산기 모델에 따라 다를 수 있습니다.
  
  - 실물 계산기로 적용한 결과
  
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