- TI nspire
[TI-nspire] 행렬 eigVL 고유값, eigVC 고유벡터 구하기
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- 2024.10.29 - 15:14 2015.10.24 - 18:43 8322 7
1. 자동으로 고유값 & 고유벡터 찾는 방법
고유값 함수(eigVL())와, 고유벡터(eigVC()) 함수는 [TI-nspire]에 내장되어 있으므로, 손쉽게 구할 수 있습니다.
- 행렬 a = 라고 하면
- eigVl()로 구한 고유값의 순서와, eigvc()로 구한 고유벡터는 그 순서가 서로 매칭됩니다.
- eigVc()로 구한 고유벡터는 정규화(=크기가 1) 된 값입니다.
2. 수동으로 고유값(Eigen Value) 찾는 방법
- 3×3 행렬을 변수 a 에 저장하고, 행렬식을 이용해 고유 방정식(p(λ))을 찾습니다.
- solve 로 고유값을 찾습니다. 2(중근)와 4가 나왔습니다.
└ 보기 좋으라고 그리스 문자 λ 를 찾아서 넣었습니다만, 그냥 알파벳 a~z 를 써도됩니다.
3. 수동으로 고유벡터(Eigen Vector) 찾는 방법
- rref(a-고유값) 으로 벡터 성분(v1, v2, v3)간의 관계식을 구할 수 있습니다.
- 벡터 성분간 관계식을 만족하는 벡터를 구하면 고유벡터가 됩니다.
(따라서 고유벡터는 유일(unique)한 값을 가지지 않습니다.)
ㄴ 고유값이 중근이므로 두개의 고유 벡터를 찾아보았습니다.
- 이번엔 고유값 4에 대한 고유벡터를 구해봅니다.
├ 이번에는 하나의 고유벡터만을 찾았습니다.
└ eigVc(a) 의 결과값은 정규화된 값임을 확인할 수 있습니다.
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댓글7
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세상의모든계산기
행렬a-λ 를 하게되면 자동으로 λ에 Identity Matrix 가 강제로 곱해져 계산됩니다.
행렬a 모든 원소값에 스칼라값을 빼려면 빼기부호 앞에 .(dot) 을 붙여 주어야 합니다.
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세상의모든계산기
symmetric 한 행렬에 a대해 eigvc(a) 를 구했을 때...
서로 직교하는 3개의 벡터가 되면 좋겠지만... 그렇게 구해주진 않네요.
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세상의모든계산기
행렬의 대각화 diagonalization 예제
eigvl 값을 찾았다면 대각행렬(diag)을 만들 수 있고,
대각행렬은 요소가 간단해서 역행렬을 매우 쉽게 찾을 수 있음.
p 와 p의 역행렬 그리고 d의 역행렬을 이용해 a의 역행렬을 계산할 수 있음.
ㄴ 다만, TI-nspire 에서는 정규화된 p를 찾아줘서 복잡하게 보이는 경향이 있음.
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세상의모든계산기
2×2 (대칭) 행렬의 예
1. 고유값 {3,1} 찾기
2. 대각행렬 da 정의
3. 고유값을 이용해 고유 벡터 찾기
4. 고유벡터로 p 행렬 정의 p:=[[1 1][1 -1]]
5. da 와 p 를 이용해 a의 역함수 계산
6. 최종적으로 하나의 해를 찾을 수 있는데...
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세상의모든계산기
대칭 행렬 \( a \)의 고유값과 고유벡터를 이용하여 해를 구하는 과정에서 굳이 \( D^{-1} \), \( P \), \( P^{-1} \)를 모두 계산하지 않고도, 고유값 분해와 고유벡터를 이용해 연립방정식을 더 간단하게 풀 수 있습니다.
1. 고유값 분해: 행렬 \( a \)의 고유값이 3과 1로 주어졌고, 각각의 고유벡터가 \( x_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} \)와 \( x_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} \)입니다.
2. 벡터 \( b \)를 고유벡터로 분해:
우선, \( b = \begin{bmatrix} 4 \\ 3 \end{bmatrix} \)를 두 고유벡터 \( x_1 \)과 \( x_2 \)의 선형 결합으로 표현합니다.
즉, \( b = c_1 x_1 + c_2 x_2 \)를 만족하는 \( c_1 \)과 \( c_2 \)를 구합니다.
- \( x_1 \)과 \( x_2 \)가 직교하므로, 내적을 통해 \( c_1 \)과 \( c_2 \)를 쉽게 구할 수 있습니다.
- \( c_1 = \dfrac{b \cdot x_1}{x_1 \cdot x_1} = \dfrac{4 \times 1 + 3 \times 1}{1^2 + 1^2} = \dfrac{4 + 3}{2} = \dfrac{7}{2} = 3.5 \)
- \( c_2 = \dfrac{b \cdot x_2}{x_2 \cdot x_2} = \dfrac{4 \times 1 + 3 \times (-1)}{1^2 + (-1)^2} = \dfrac{4 - 3}{2} = \dfrac{1}{2} = 0.5 \)
3. 해 \( x \) 구하기:
이제 고유값을 사용하여 \( x = \dfrac{c_1}{\lambda_1} x_1 + \dfrac{c_2}{\lambda_2} x_2 \)를 계산합니다.
- \( x = \dfrac{3.5}{3} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} + 0.5 \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} \)
- 이를 계산하면:
$ x = \begin{bmatrix} \dfrac{3.5}{3} + 0.5 \\ \dfrac{3.5}{3} - 0.5 \end{bmatrix} $
따라서 연립방정식의 해는 \( x = \begin{bmatrix} \dfrac{5}{3} \\ \dfrac{2}{3} \end{bmatrix} \)입니다.
세상의모든계산기 님의 최근 댓글
교점이 2개 이상일때 모든 값을 구하는 법 계산기마다 가능/불가능이 갈릴 수도 있습니다. ㄴ fx-570 의 solve 는 무조건 한번에 하나씩 찾습니다. 따라서, 2차 3차 방정식처럼 규격화된 수식은 solve 대신 EQN 모드에서 답을 구하는게 좋습니다. ㄴ TI-nspire 같은 CAS 계산기의 solve 는 수식에 따라서 여러개가 한꺼번에 찾아지기도 합니다. https://allcalc.org/3448 ㄴ fx-9860G 의 solve는 무조건 1개, solveN 는 수식에 따라 여러개가 찾아질 수 있습니다. https://allcalc.org:443/board_casio/6005#comment_15889 가능하다면, 불확실할때는 그래프로 확인하세요. 2025 12.16 T가 410인 해를 찾는 방법 -> 초기값을 입력하세요. [공학용 계산기] 공학용 계산기의 꽃? solve (솔브) 기능 이해하기 (Newton-Raphson 법, 뉴튼법) https://allcalc.org/11532 2025 12.16 참고 - [공학용 계산기] 정적분 계산 속도 벤치마크 비교 https://allcalc.org/9677 2025 12.11 다른 계산기의 경우와 비교 1. TI-nspire CAS ㄴ CAS 계산기는 가능한 경우 부정적분을 먼저하고, 그 값에 구간을 대입해 최종값을 얻습니다. ㄴ 부정적분이 불가능할 때는 수치해석적 방법을 시도합니다. 2. CASIO fx-991 ES Plus ㄴ CASIO 계산기의 경우, 적분할 함수에 따라 시간이 달라지는 것으로 알고 있는데, 정밀도를 확보할 별도의 알고리즘을 채택하고 있는 것이 아닐까 생각되네요. 2025 12.11 일반 계산기는 보통 리셋기능이 따로 없기 때문에, 다른 요인에 영향을 받을 가능성은 없어 보이구요. '원래는 잘 되었는데, 지금은 설정 값이 날아간다'면 메모리 값을 유지할만큼 배터리가 꾸준하게 공급되지 않기 때문일 가능성이 높다고 봐야겠습니다. - 태양광이 있을 때는 계산은 가능하지만, 서랍등에 넣으면 배터리가 없어서 리셋 https://blog.naver.com/potatoyamyam/223053309120 (교체 사진 참조) 1. 배터리 준비: * 다이소 등에서 LR54 (LR1130) 배터리를 구매합니다. (보통 4개 들이 1,000원에 판매됩니다. LR44와 높이가 다르니 혼동하시면 안됩니다.) 2. 준비물: * 작은 십자드라이버 (계산기 뒷면 나사용. 이것도 없으시면 다이소에서...) 3. 커버 분해: * 계산기 뒷면의 나사를 풀고, 머리 부분(윗부분)의 커버를 조심스럽게 분해합니다. (참고해주신 블로그 사진을 보시면 이해가 빠르실 겁니다.) 4. 배터리 교체: * 기존 배터리를 빼냅니다. * 새 LR54 배터리의 '+'극 방향을 정확히 확인하여 제자리에 넣어줍니다. (대부분의 경우 '+'극이 위로 보이도록 넣습니다.) 5. 조립: * 커버를 다시 닫고 나사를 조여줍니다. * 블로그 사진을 보니 배터리 연결선 등이 눌려서 씹혀 있네요. 원래 씹히도록 설계를 안하는데, 원래 그렇게 만들어 놓은 건지? 모르겠네요. 여튼 씹히면 단선될 가능성이 있으니, 잘 보시고 플라스틱 틈새 등으로 적절히 배치해서 안씹히게 하는 것이 좋습니다. 6. TAX 재설정: * 계산기의 전원을 켜고 TAX 요율을 10%로 다시 설정합니다. 2025 12.10