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[TI-nspire] 푸리에 급수, 그래프로 확인하기 - 예제 #1
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- *.40.137.167
- 3시간 전 2024.11.11 - 13:48 18 8
문제
함수 정의
\[
f(x) =
\begin{cases}
x + 1, & -1 < x < 0 \\
1 - x, & 0 \leq x < 1
\end{cases}
\]
이 함수 \( f(x) \)는 \(-1 < x < 1\)에서 정의되어 있으며, 주기 \( T = 2 \)를 가지도록 주기적으로 확장된다고 가정합니다. 즉, \( f(x + 2) = f(x) \)입니다.
목표
1. 함수 \( f(x) \)의 푸리에 급수를 계산하세요.
2. 푸리에 급수의 일반항을 구하고, 그 결과를 적어도 첫 몇 개의 항으로 나타내세요.
풀이 힌트
1. 주기 \( T = 2 \) 이므로, 기본 각주기는 \( \omega_0 = \frac{2\pi}{T} = \pi \) 입니다.
2. 함수 \( f(x) \)는 구간 \(-1 < x < 1\) 에서 정의되어 있으므로, 이 구간에서 푸리에 급수의 계수를 \( a_n \), \( b_n \) 계산해야 합니다.
푸리에 급수의 일반적인 표현은 다음과 같습니다:
\[
f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos(n \pi x) + b_n \sin(n \pi x) \right)
\]
여기서:
- \( a_0 \)는 상수항,
- \( a_n \)과 \( b_n \)은 각각 코사인 및 사인 항의 계수로, 다음과 같이 정의됩니다:
\[
a_0 = \frac{1}{T} \int_{-1}^{1} f(x) \, dx
\]
\[
a_n = \frac{2}{T} \int_{-1}^{1} f(x) \cos(n \pi x) \, dx
\]
\[
b_n = \frac{2}{T} \int_{-1}^{1} f(x) \sin(n \pi x) \, dx
\]
각각의 계수를 구한 후, 푸리에 급수를 완성해 보세요.
댓글 8
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2. 상수항(a₀) / 계수(an, bn) - 일반항 정의
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보기 좋으라고 귀찮지만 아래 첨자를 이용하였을 뿐, 일반 문자변수를 이용해도 결과는 같습니다.
https://allcalc.org/22345
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3. 그래프로 확인
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3.1 그래프 수식 입력 대안
seq() 함수로 list 를 생성하는 중간과정 없이, @n1 을 그대로 이용할 수도 있음.
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항의 수가 늘어감에 따라 급수가 원래 그래프(f(x)) 와 더 유사해짐을 알 수 있습니다.
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4. 몇개 항의 나열
@n1 = 짝수 일 때, 0
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5. 라이브러리 kit_ets_mb\fourier() 사용시
라이브러리 : https://allcalc.org/52395
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1. 함수의 정의 / 정적분 확인
ㄴ
Sin 적분 경고 Warning : Domain of the result might be larger than the domain of the input.
※ 이 문제에서 사용된 조각함수(Piecewise Continuous Function)는 단독으로는 적분도 되고, 미분도 되지만,
다른 함수와 결합되면(cos 함수와 곱해짐) 아쉽게도 Nspire 에서 직접 정적분되지 않습니다.
혹 정적분되더라도 approx(근사값)으로만 표시되며, 게다가 재수없으면 오류가 발생하는 경우도 있습니다.
따라서 어쩔 수 없이 구간을 두 부분으로 나누어 계산하고 합쳐야 합니다.
ㄴ https://allcalc.org/52386 : [PDF] Convolution Integrals with Nspire CAS