[TI-nspire] 푸리에 급수, 내장함수 & 그래프로 확인하기

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[TI-nspire] 푸리에 급수, 내장함수 & 그래프로 확인하기 - 예제 #1

- 세상의모든계산기
  *.40.137.167
- 2024.11.15 - 22:34 2024.11.11 - 13:48 319 8

문제

주어진 함수 $f (x)$ 를 $- 1 < x < 1$ 구간에서 푸리에 급수로 표현하세요.

함수 정의

$f (x) = {\begin{cases} x + 1, & - 1 < x < 0 \\ 1 - x, & 0 \leq x < 1 \end{cases}$

이 함수 $f (x)$ 는 $- 1 < x < 1$ 에서 정의되어 있으며, 주기 $T = 2$ 를 가지도록 주기적으로 확장된다고 가정합니다. 즉, $f (x + 2) = f (x)$ 입니다.

목표

1. 함수 $f (x)$ 의 푸리에 급수를 계산하세요.
2. 푸리에 급수의 일반항을 구하고, 그 결과를 적어도 첫 몇 개의 항으로 나타내세요.

풀이 힌트

1. 주기 $T = 2$ 이므로, 기본 각주기는 $ω_{0} = \frac{2 π}{T} = π$ 입니다.
2. 함수 $f (x)$ 는 구간 $- 1 < x < 1$ 에서 정의되어 있으므로, 이 구간에서 푸리에 급수의 계수를 $a_{n}$ , $b_{n}$ 계산해야 합니다.

푸리에 급수의 일반적인 표현은 다음과 같습니다:

$f (x) = a_{0} + \sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} \cos (n π x) + b_{n} \sin (n π x))$

여기서:
- $a_{0}$ 는 상수항,
- $a_{n}$ 과 $b_{n}$ 은 각각 코사인 및 사인 항의 계수로, 다음과 같이 정의됩니다:

$a_{0} = \frac{1}{T} \int_{- 1}^{1} f (x) d x$

$a_{n} = \frac{2}{T} \int_{- 1}^{1} f (x) \cos (n π x) d x$

$b_{n} = \frac{2}{T} \int_{- 1}^{1} f (x) \sin (n π x) d x$

각각의 계수를 구한 후, 푸리에 급수를 완성해 보세요.

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세상의모든계산기 Lv. 25

계산기는 거들 뿐
혹은
계산기를 거들 뿐

- 세상의모든계산기 (*.40.137.167) 2024.11.11 14:37 #comment_52219
  
  1. 함수의 정의 / 정적분 확인
  
  ㄴ Sin 적분 경고 Warning : Domain of the result might be larger than the domain of the input.
  
  ※ 이 문제에서 사용된 조각함수(Piecewise Continuous Function)는 단독으로는 적분도 되고, 미분도 되지만,
  다른 함수와 결합되면(cos 함수와 곱해짐) 아쉽게도 Nspire 에서 직접 정적분되지 않습니다.
  혹 정적분되더라도 approx(근사값)으로만 표시되며, 게다가 재수없으면 오류가 발생하는 경우도 있습니다.
  
  따라서 어쩔 수 없이 구간을 두 부분으로 나누어 계산하고 합쳐야 합니다.
  ㄴ https://allcalc.org/52386 : [PDF] Convolution Integrals with Nspire CAS
  
  ※ n 이 아니라 @n1 을 사용한 이유 : https://allcalc.org/5077
  
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- 세상의모든계산기 (*.40.137.167) 2024.11.11 14:38 #comment_52223
  
  2. 상수항(a₀) / 계수(a_n, b_n) - 일반항 정의
  
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- 세상의모든계산기 (*.40.137.167) 2024.11.11 15:21 #comment_52261
  
  보기 좋으라고 귀찮지만 아래 첨자를 이용하였을 뿐, 일반 문자변수를 이용해도 결과는 같습니다.
  https://allcalc.org/22345
  
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- 세상의모든계산기 (*.40.137.167) 2024.11.11 14:42 #comment_52227
  
  3. 그래프로 확인
  
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- 세상의모든계산기 (*.40.137.167) 2024.11.11 14:59 #comment_52240
  
  3.1 그래프 수식 입력 대안
  
  seq() 함수로 list 를 생성하는 중간과정 없이, @n1 을 그대로 이용할 수도 있음.
  
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- 세상의모든계산기 (*.40.137.167) 2024.11.11 15:03 #comment_52245
  
  항의 수가 늘어감에 따라 급수가 원래 그래프(f(x)) 와 더 유사해짐을 알 수 있습니다.
  
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- 세상의모든계산기 (*.40.137.167) 2024.11.11 17:29 #comment_52264
  
  4. 몇개 항의 나열
  
  @n1 = 짝수 일 때, 0
  
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- 세상의모든계산기 (*.40.137.167) 2024.11.14 11:34 #comment_52422
  
  5. 라이브러리 kit_ets_mb\fourier() 사용시
  
  라이브러리 : https://allcalc.org/52395
  
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