세제곱근을 손으로 풀어야 하나요?
"8의 세제곱근" 같은 것도 아니고, "1.392274 의 세제곱근"을 손으로 풀어야 한다구요?
왜죠? 도대체 왜 그러시는 건데요?
(핸드폰이나 컴퓨터에 있는) 공학용 계산기를 쓰면 되는 걸 알지만, 그걸 못쓰는 상황이라는 건데...
굳이 저런 상황이 왜 있는 건지? 모르겠지만...
여튼 일반 계산기도 없고 오직 손으로 풀어야 한다면,
그냥 못풀겠다고 하고 펜을 집어 던지시는게 좋습니다.
오차값이라도 제발 구해달라고 누가 사정사정한다면 그 때는 얘기가 좀 달라지겠지만요.
딱 떨어지지 않는 세제곱근의 근사값으로 계산하는 것은 그렇게 어렵지는 않습니다.
다음 과정만 잘 따라오시면 됩니다.
1. 정확한 해를 손으로 계산하는 것은 매우 어렵다.
- 고차방정식을 풀 때는 특히 손 계산으로는 해를 정확히 얻기 어렵다.
2. 손으로 계산할 때는 근사값으로 만족해야 한다.
- 근사 방법으로 빠르게 해를 구하고, 일정한 오차 범위를 허용하는 것이 현실적이다.
3. 이항 전개를 활용한 근사 계산
- \( (1 + r)^3 = 1^3 + 3r + 3r^2 + r^3 \)에서 \( +3r^2 +r^3 \) 는 \( r \)이 0에 가까울 때 무시할 수 있다.
- \( 3r^2 \)까지 포함하고, \( r^3 \) 만 버린다면, 오차는 줄어들겠지만, 제곱근을 손으로 또 구해야 하는 불상사가 생긴다.
- 어쩔 수 없이 2차항 3차항은 버려야만 한다.
- 따라서, \( 1 + 3r = 1.392274 \)를 풀어 간단한 근사 해 \(r = 0.130758 \)를 구해볼 수는 있다.
- 그런데, r=0.130758 이 0에 가깝다고 볼 수 있나?
4. 핵심은 \( r \)이 0에 가까워야만 이 논리에 의미가 있다는 것이다.
- \( r \)이 너무 크면 오차가 커져 근사 결과에 의미가 없어지므로, 매우 작은 \( r \)일 때 이 방법이 유효하다.
- 어떻게 r을 0에 가깝게 만들 것인가? 우리는 그 방법을 찾을 것이다. 늘 그랬듯이...
5. 이자율과 현실적 문제에서의 활용
- 이자율은 보통 5% 내외로 현실적으로 작은 값이기 때문에, 이를 바탕으로 사전 지식을 활용할 수 있다.
- \( 1.392274 \)는 \( 1.1^3 \)보다 크고 \( 1.2^3 \)보다 작다는 것을 (경험적으로) 감각적으로 알 수 있다.
- 아니면 최소한 앞선 과정3.에서 찾은 답이 r=0.130758 이니 제일 앞자리 0.1을 없애면 r이 0에 더 가까워지는 것 아니겠는가?
6. 더 정밀한 근사를 위해 수식을 변형해 사용
- \( 1.1 + r' \)을 기준으로 다시 전개하여 오차를 줄일 수 있다.
- \( (1.1 + r')^3 \approx 1.331 + 3.63r' \)로 고차항을 무시하여 전개 후, \( 1.331 + 3.63r' = 1.392274 \)을 계산하면, 훨씬 작은 오차로 근사값을 얻을 수 있다.
- 그렇게 찾은 r'=0.016879889807163 이고, 0.1 을 더해주면 더욱 더 근사해진 근사값 r = 0.116879889807163 을 얻는다.
이 방법은 계산량이 상대적으로 적고, 1차식으로 계산이 끝나기 때문에
직관적으로 \( r \) 값을 점점 더 작은 값으로 조정하면서 빠르게 근사값을 구할 수 있습니다.
더 정밀하게 다음 값을 구한다면
직전에 찾은 결과값에서 한자리 더 정확한 값을 선택해 0.12 또는 0.11을 빼고 r'' 를 계산해 볼 수 있겠습니다.
Comment 2
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계속 반복하면, 계산기 내부 자릿수 한계(14digits) 내에서는 참값이 나올까?
ㄴ 반올림은 하지 않음.
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쌀집 계산기를 이용한 방법은 아래 링크 참고
https://allcalc.org/49753