[TI-89] 기본 기능을 이용한 라플라스 변환

 

소개

TI 계산기에는 라플라스 변환과 역변환을 계산하기 위한 미리 프로그래밍된 함수가 없습니다. 하지만 여러 웹사이트에서 이를 제공합니다:

Lars Fredericksen이 프로그래밍한 직접 및 역변환은 매우 효과적이며, 심지어 헤비사이드와 디랙 함수도 처리할 수 있습니다! 이 프로그램을 얻으려면 다음 링크를 따라가세요.

http://www.seg.etsmtl.ca/ti/Lap-LF.zip

 

여기서 우리가 제안하는 것은 TI의 기본 함수만을 사용하여 충분히 잘 해낼 수 있다는 것을 보여주는 것입니다.

 

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라플라스 변환

먼저 라플라스 변환은 매개변수 s의 특정 값에 대해 수렴하는 이상적분임을 주목해야 합니다:

TI는 s에 대한 도메인이 지정되지 않으면 진행할 수 없습니다(그림 1).

 

라플라스 변환을 함수로 정의하고 싶을 수 있지만,

수렴이 느릴 것입니다... (그림 2 a).

무한대에서의 평가가 0이 됨을 인식하여 부적분을 피할 수 있습니다: 실제로, 라플라스 변환을 계산하는 함수들은 지수 차수입니다. 이는 s를 충분히 크게 선택하면

을 얻게 된다는 것을 의미합니다.
부정적분 을 계산한 후에는 (f가 모든 곳에서 연속이고 TI가 적분 상수를 추가하지 않는다고 가정하면)

라고 하면 됩니다.

극한은 t = 0에서의 평가가 0의 오른쪽에서 계산되어야 한다는 사실에서 비롯됩니다. 그림 2 b를 보세요.

이제 훨씬 더 심각한 문제인 역변환을 다루겠습니다.

 

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역 라플라스 변환

 

의 역변환 계산을 고려해 봅시다.
여기서는 제곱 완성을 수행해야 합니다: 부분 분수 전개 전에 이를 수행하는 것이 좋습니다(그림 3).

  

변환 표에서 다음과 같은 대응관계를 알아야 합니다:

따라서 답은 입니다.

 

컨볼루션으로도 진행할 수 있습니다: 컨볼루션 속성에 따르면 F(s) = X(s) H(s)인 경우,

입니다.

여기서 우리는 다음을 가집니다:

그리고 TI는 컨볼루션 적분을 처리합니다(그림 4 a 참조).

  

그림 4 b와 4 c는 결과의 단순화를 보여줍니다.

 

복소수를 사용하여 부분 분수로 전개할 수도 있습니다. TI에서 선언되지 않은 변수는 실수로 간주되지만, 이 변수에 밑줄 "_" 기호를 추가하면 복소수로 간주됩니다. 실제로 s가 실수인지 복소수인지에 따라 TI가 를 어떻게 단순화하는지 보세요(그림 5).

 

이 단계에서 대응관계  와 오일러 공식 을 사용하면 복소 부분 분수가 수행된 후 역 라플라스 변환을 계산할 수 있습니다.
여기서 g(s)라고 부를 의 예를 다시 살펴봅시다.

부분 분수로 전개하기 전에 복소수로 인수분해하는 것이 중요합니다(그림 6 a);

  

이 작업은 s가 복소수라는 제약 하에 수행됩니다(그림 6 b 및 6 c).

그런 다음 복소 근이 켤레 쌍으로 나타난다는 사실을 이용하여 라고 쓰면 됩니다. 여기서 z는 숫자  로 정의되었습니다.
TI는 "conj"를 사용하여 복소수를 켤레복소수로 만듭니다(그림 7).

 

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미분방정식 시스템과 라플라스 변환

TI는 라플라스 변환을 사용하여 미분방정식 시스템을 해결하는 데 매우 유용할 수 있습니다. 계산기가 길고 지루한 계산을 처리하므로 사용자는 해결할 방정식만 지정하면 됩니다.

다음 시스템을 고려해 봅시다:

s 도메인으로 변환하면 다음을 얻습니다:

여기서 X와 Y는 각각 x와 y의 라플라스 변환을 나타냅니다. 마지막으로, 우리 시스템을 행렬 형태로 다시 쓰면 다음을 해결해야 합니다:

TI가 개입하고 우리는 행렬을 정의합니다(그림 8).

계수 행렬을 m이라고 부르고 오른쪽 행렬을 b라고 부르기로 합니다.

 

좋은 옛날 크라머 방법은 이제 쓸모없어졌습니다! 실제로 TI의 "simult" 함수를 사용하면 정사각형 선형 시스템을 해결할 수 있습니다(그림 9).

지루한 행렬식의 몫을 계산할 필요가 없습니다(또는 를 입력해도 결과는 같았을 것입니다).

 

이제 부분 분수로 전개하기만 하면 됩니다.
"expand" 명령은 리스트와 행렬에서도 작동합니다. "expand"의 구문은 expand(exp [, var])입니다. (그림 10).

 

라플라스 변환 표를 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있습니다: