직교 좌표계 vs 극좌표계의 시각적 비교

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  세상의모든계산기

  2024.10.27 - 19:00 2024.10.27 - 19:00 #51550

  참고 : BallPen.blog, 내 나이의 빛깔 - 극좌표계

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  https://ballpen.blog/%EA%B7%B9%EC%A2%8C%ED%91%9C%EA%B3%84-polar-coordinate-system/

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  세상의모든계산기

  2024.10.27 - 19:21 2024.10.27 - 19:03 #51553

  극좌표계에서의 면적 요소 \(dA\)

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  1. 부채꼴 형상:
  - 극좌표계에서 \(r\)와 \(\theta\)의 변화에 따라 만들어지는 면적 요소는 부채꼴의 형태를 가집니다. 그러나 이 부채꼴은 작아질수록 사각형에 가까워집니다.

   

  2. 사각형 근사:
  - 부채꼴의 끝부분이 작아질 때, 이를 사각형으로 근사할 수 있습니다. 이때 사각형의 한 변은 \(dr\) (거리에 해당), 다른 변은 \(r \, d\theta\) (각도 변화에 따른 아크 길이에 해당)입니다.

   

  

   

  3. 면적 계산:
  - 따라서 미소 면적 요소는 다음과 같이 표현할 수 있습니다:
  \[
  dA = r \, dr \, d\theta
  \]
  - 여기서 \(r \, d\theta\)는 사각형의 한 변의 길이를 나타내고, \(dr\)는 나머지 변의 길이를 나타냅니다.
  - 즉, 사각형의 면적은 다음과 같이 계산할 수 있습니다:
  \[
  dA \approx (r \, d\theta) \cdot (dr) = r \, dr \, d\theta
  \]

   

  4. 순서 변경:
  - 이 면적 요소는 \(dA = r \, dr \, d\theta\)로 쓸 수 있으며, 순서를 바꿔서도 쓸 수 있습니다. 예를 들어 \(dA = r \, dr \, d\theta\)는 \(dA = dr \cdot r \, d\theta\)와 같이 쓸 수 있습니다. 이는 곱셈의 교환 법칙에 따라 가능하며, 적분할 때에도 상관없이 사용됩니다.

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  세상의모든계산기

  2024.10.27 - 19:26 2024.10.27 - 19:25 #51559

  극좌표 함수의 형태로 나타나는 이중적분

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  극좌표 함수에서 \(dA = r \, dr \, d\theta\) 형태로 나타낼 수 있는 이중적분 \(\int \int f(r, \theta) \, r \, dr \, d\theta\)는 면적을 계산하는 방식입니다.

  이 계산식에서 \(r\)과 \(\theta\)의 변화에 따른 미소 면적의 총합으로 이해할 수 있습니다.

   

  이중적분의 의미

  1. 미소 면적의 총합:
     - 극좌표계에서 \(dA\)는 미소 면적 요소를 나타냅니다. \(r\)이 변화하고, \(\theta\)도 변화할 때, 각 미소 면적 \(dA\)를 모두 합산하여 전체 면적을 구하는 것이 이중적분의 목적입니다.
     - 즉, \(\int_0^{\theta_{\text{max}}} \int_0^{r_{\text{max}}} f(r, \theta) \, r \, dr \, d\theta\)와 같이 표현되는 이중적분은 각 \(r\)에 대한 함수 값 \(f(r, \theta)\)와 면적 요소 \(r \, dr\)를 곱한 후, 이를 \(\theta\)에 대해 적분하여 총 면적을 구하는 과정입니다.

   

  2. 변화에 따른 적분:
     - \(r\)와 \(\theta\)가 각각의 구간에서 변화할 때, 그 변화에 따른 미소 면적을 구해 적분하는 것이므로, \(t\)의 총 변화(여기서는 \(\theta\)로 표현됨)에 따른 미소 면적의 총합으로 볼 수 있습니다.

   

  결론

  결국, 극좌표에서의 이중적분은 각 점의 미소 면적 \(dA\)를 합산하여 전체 면적을 구하는 과정입니다.

  이때 \(r \, dr \, d\theta\)는 면적 요소로 작용하며, 이는 각각의 \(r\)과 \(\theta\)의 변화에 따른 총 면적을 반영합니다.

  따라서 \(\int \int f(r, \theta) \, r \, dr \, d\theta\)는 미소 면적의 총합으로 볼 수 있습니다. 잘 이해하셨습니다!

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  세상의모든계산기

  2024.10.27 - 19:52 2024.10.27 - 19:40 #51562

  이중적분 \(\int_0^{2\pi} \int_0^{\sin(t)} \sqrt{1 - r^2} \cdot r \, dr \, dt\)에서 \(t\)의 변화에 따라 그래프의 변화를 연속적으로 보여주면

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  import numpy as np
  import matplotlib.pyplot as plt
  from matplotlib.animation import FuncAnimation
  
  # 설정
  t_values = np.linspace(0, 2 * np.pi, 100)  # t의 변화 범위
  
  # 그래프 초기화
  fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 8))
  ax.set_xlim(-1.5, 1.5)
  ax.set_ylim(-1.5, 1.5)
  ax.set_aspect('equal')
  ax.set_title('Area under the curve for varying $t$')
  ax.set_xlabel('$x$')
  ax.set_ylabel('$y$')
  
  # 그래프에 사용할 점과 면적 표시
  line_r, = ax.plot([], [], color='blue', label='$r(t) = \sin(t)$')
  ax.legend()
  
  # 면적 다각형 리스트
  area_patches = []
  total_area = 0  # 총 면적 초기화
  area_text = ax.text(-1.4, 1.2, f'Total Area: {total_area:.2f}', fontsize=12)
  
  # 애니메이션 업데이트 함수
  def update(frame):
      global total_area  # 총 면적을 전역 변수로 설정
      t = t_values[frame]
      r = np.linspace(0, np.sin(t), 100)  # r 값 생성
      x = r * np.cos(t)  # x 좌표
      y = r * np.sin(t)  # y 좌표
  
      # 면적을 나타내는 다각형 생성
      area_patch = plt.Polygon(np.column_stack((x, y)), closed=True, color='lightblue', alpha=0.5)
      ax.add_patch(area_patch)  # 다각형 추가
      area_patches.append(area_patch)  # 면적 목록에 추가
  
      # 면적 계산 (부채꼴 면적 계산)
      segment_area = 0.5 * (np.sin(t) ** 2) * t  # t에 따른 면적
      total_area += segment_area  # 총 면적 업데이트
  
      # 선 업데이트
      line_r.set_data(np.array([0, x[-1]]), np.array([0, y[-1]]))
  
      # 면적 합계 텍스트 업데이트
      area_text.set_text(f'Total Area: {total_area:.2f}')
  
      return area_patches, line_r, area_text
  
  # 애니메이션 생성
  ani = FuncAnimation(fig, update, frames=len(t_values), blit=False, repeat=False)
  
  # 진행 표시줄 추가
  progress_ax = fig.add_axes([0.15, 0.1, 0.7, 0.05])  # 위치 조정
  progress_bar = plt.barh([0], [0], color='gray', height=0.1)  # 진행 표시줄
  progress_ax.set_xlim(0, len(t_values))
  progress_ax.set_ylim(-0.5, 0.5)
  progress_ax.axis('off')  # 축 숨기기
  
  # 진행 표시줄 레이블 추가
  start_label = progress_ax.text(-1, 0, 'Start: $t=0$', fontsize=10, ha='center')
  end_label = progress_ax.text(len(t_values)+1, 0, 'End: $t=2\pi$', fontsize=10, ha='center')
  
  # 애니메이션 프레임 업데이트
  def update_progress(frame):
      progress_bar[0].set_width(frame)  # 진행 표시줄 업데이트
      return progress_bar
  
  # 진행 표시줄 애니메이션
  ani_progress = FuncAnimation(fig, update_progress, frames=len(t_values), blit=False, repeat=False)
  
  plt.show()

   

  

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