[확률] - 6/45 로또를 5게임을 선택 했을 때, 당첨 번호 6개가 5게임의 모든 숫자들의 집합에 포함될 확률은?

세상의 모든 계산기 수학, 과학, 공학 이야기 확률통계

[확률] - 6/45 로또를 5게임을 선택 했을 때, 당첨 번호 6개가 5게임의 모든 숫자들의 집합에 포함될 확률은?

- 세상의모든계산기
  *.105.205.197
- 2024.07.31 - 08:03 2024.07.28 - 10:21 170 11

로또 확률 - 6/45 로또를 5게임을 선택 했을 때, 당첨 번호 6개가 5게임의 모든 숫자들의 집합에 포함될 확률은?

1) 5set 모두 숫자가 안겹치는 경우

: 최상의 경우 1게임이 1등에 당첨 & 나머지 모두 꽝

45개중에 30개 숫자를 선택하고 - > 5게임으로 숫자들을 분배하는 걸로 보면 되니까

총 경우의 수: 45개의 숫자 중 30개를 뽑는 경우의 수는 45C30입니다.
바람직한 경우의 수: 6개의 당첨 번호를 이미 뽑았다고 가정하면, 나머지 24개 숫자를 45-6=39개의 숫자 중에서 뽑는 경우의 수와 같습니다. 즉, 39C24입니다.
확률: 바람직한 경우의 수 / 총 경우의 수 = 39C24 / 45C30

통계적 검증

from scipy.special import comb
    import random
     
    # Simulate lottery draws (number of simulations)
    simulations = 100000
     
    # Winning numbers (replace with actual winning numbers if desired)
    winning_numbers = random.sample(range(1, 46), 6)
     
    # Favorable cases count
    favorable_cases = 0
     
    for _ in range(simulations):
      # Pick 30 numbers from 45
      chosen_numbers = random.sample(range(1, 46), 30)
       
      # Check if all winning numbers are included in chosen numbers
      if set(winning_numbers).issubset(set(chosen_numbers)):
        favorable_cases += 1
     
    # Probability estimation
    probability = favorable_cases / simulations
     
    # Print result (formatted for readability)
    print(f"Estimated probability of winning lotto with 30 chosen numbers (all winning numbers included after {simulations} simulations): {probability:.10f}")

실행 결과 : Estimated probability of winning lotto with 30 chosen numbers (all winning numbers included after 100000 simulations): 0.0718200000
Estimated probability of winning lotto with 30 chosen numbers (all winning numbers included after 100000 simulations): 0.0733000000

2) 5set 숫자가 서로 겹치는 걸 허용하는 경우

: 최상의 경우 : 5게임을 동일하게 선택하여, 모두 1등 당첨!

통계적 검증

from scipy.special import comb
    import random
     
    # Simulate lottery draws (number of simulations)
    simulations = 100000
     
    favorable_cases = 0  # Initialize inside the loop
     
    # Initialize min and max length trackers
    min_length = float('inf')
    max_length = float('-inf')
     
    for _ in range(simulations):
        # Winning numbers (replace with actual winning numbers if desired)
        winning_numbers = set(random.sample(range(1, 46), 6))  
     
        # Generate 5 sets of 6 random numbers
        chosen_numbers = [random.sample(range(1, 46), 6) for _ in range(5)]
     
        # Flatten the list and remove duplicates
        all_numbers = list(set([num for sublist in chosen_numbers for num in sublist]))
     
        # Update min and max length
        current_length = len(all_numbers)
        if current_length < min_length:
            min_length = current_length
        if current_length > max_length:
            max_length = current_length
     
        # Check if all winning numbers are included in chosen all numbers
        if set(winning_numbers).issubset(set(all_numbers)):
            favorable_cases += 1
     
    # Probability estimation
    probability = favorable_cases / simulations
     
    # Print results
    print(f"Minimum length of all_numbers across simulations: {min_length}")
    print(f"Maximum length of all_numbers across simulations: {max_length}")
    print(f"Estimated probability of winning lotto with 5 sets of 6 numbers (all winning numbers included after {simulations} simulations): {probability:.10f}")

실행 결과 :
횟수 1억회 시도시
Minimum length of all_numbers across simulations: 13
Maximum length of all_numbers across simulations: 30
Estimated probability of winning lotto with 5 sets of 6 numbers (all winning numbers included after 100000000 simulations): 0.0137585900

수학적 해결 방법

문제 정의

- 전체 숫자: 1부터 45까지 (N = 45)
- 각 게임에서 선택하는 숫자: 6개 (k = 6)
- 게임 수: 5 (m = 5)
- 목표: 5게임에서 선택한 숫자들이 1등 번호 6개를 모두 포함할 확률 계산

수학적 접근

1. 한 게임에서 특정 숫자를 선택할 확률:
P(선택) = 6/45 = 2/15

2. 한 게임에서 특정 숫자를 선택하지 않을 확률:
P(선택하지 않음) = 1 - 2/15 = 13/15

3. 5게임 모두에서 특정 숫자를 선택하지 않을 확률:
P(5게임 모두 선택하지 않음) = (13/15)^5

4. 5게임 중 적어도 한 번 특정 숫자를 선택할 확률:
P(적어도 한 번 선택) = 1 - P(5게임 모두 선택하지 않음)
= 1 - (13/15)^5

5. 6개의 당첨 번호 모두가 5게임 중 적어도 한 번씩 선택될 확률:
P(모든 당첨 번호 포함) = (1 - (13/15)^5)^6

반대의 경우 :

1등 번호가 5게임의 숫자에 아무것도 들어기지 않는 경우

https://allcalc.org/45299

Attached file

이 게시물을..

세상의모든계산기 Lv. 25

계산기는 거들 뿐
혹은
계산기를 거들 뿐

- 세상의모든계산기 (*.105.205.197) 2024.07.28 11:54 #comment_45224
  
  포함-배제 원리를 사용하여 1등 번호 6개가 5개의 게임에서 모두 포함될 확률을 구하는 방법
  
  1. 포함-배제 원리 개요
  
  포함-배제 원리를 사용하여 "적어도 하나의 숫자가 포함되지 않는 경우"의 확률을 구한 후, 이를 통해 "모든 숫자가 포함되는 경우"의 확률을 구합니다.
  
  문제 정의:
  - 전체 숫자 집합: 45개
  - 게임에서 선택하는 숫자: 6개
  - 게임 수: 5개
  - 1등 번호: 6개 (이 숫자들이 5게임 모두에 포함되기를 원함)
  
  2. 포함-배제 원리를 적용한 확률 계산
  
  1. 단일 숫자가 포함되지 않을 확률:
  
     단일 숫자가 한 게임에서 선택되지 않을 확률은:
  
      $p (특정 숫자를 포함하지 않음) = \frac{(\binom{44}{6})}{(\binom{45}{6})} = \frac{13}{15}$
  
  2. 적어도 하나의 1등 번호가 포함되지 않을 확률:
  
     포함-배제 원리를 사용하여, 적어도 하나의 1등 번호가 5개의 게임 중 적어도 하나의 게임에서 포함되지 않는 확률을 구합니다.
  
     - $A_{i}$ : 1등 번호의 $i$ -번째 숫자가 포함되지 않은 경우의 사건.
  
      $P (적어도 하나의 숫자가 포함되지 않음) = \sum_{i = 1}^{6} (- 1)^{i + 1} [P (A_{i 1} \cap A_{i 2} \cap \dots \cap A_{i i})]$
  
     여기서 $A_{i j}$ 는 $i$ 개의 특정 숫자가 게임에서 모두 선택되지 않는 사건입니다.
  
     - 한 숫자가 포함되지 않는 확률:
  
        $P (A_{i}) = {(\frac{13}{15})}^{5}$
  
     - 두 숫자가 포함되지 않는 확률:
  
       두 숫자가 모두 포함되지 않을 확률은 43개의 숫자 중 6개를 선택하는 경우로 계산할 수 있습니다.
  
        $P (A_{i 1} \cap A_{i 2}) = {(\frac{(\binom{43}{6})}{(\binom{45}{6})})}^{5} = {(\frac{3}{5})}^{5}$
  
     - 일반화:
  
       i개의 숫자가 모두 포함되지 않을 확률은:
  
        $P (A_{i 1} \cap A_{i 2} \cap \dots \cap A_{i i}) = {(\frac{(\binom{45 - i}{6})}{(\binom{45}{6})})}^{5}$
  
     이 값을 포함-배제 원리에 따라 합산하여 적어도 하나의 1등 번호가 포함되지 않을 확률을 구합니다.
  
  3. 최종 확률 계산
  
  모든 1등 번호가 5개의 게임에 모두 포함될 확률은:
  
  $P (모든 1등 번호를 포함할 확률) = 1 - P (적어도 하나의 숫자가 포함되지 않음)$
  
  포함-배제 원리를 사용한 수식 예시:
  
  예를 들어, 1등 번호의 6개 중 하나라도 포함되지 않을 확률을 계산하는 과정은 다음과 같습니다:
  
  $P (적어도 하나의 숫자가 포함되지 않음) = \sum_{i = 1}^{6} (- 1)^{i + 1} [{(\frac{(\binom{45 - i}{6})}{(\binom{45}{6})})}^{5}]$
  
  이 경우, 실제 계산은 다음과 같습니다:
  
  - $i = 1$ :
  
     $단일 숫자가 포함되지 않을 확률 = {(\frac{13}{15})}^{5}$
  
  - $i = 2$ :
  
     $두 숫자가 모두 포함되지 않을 확률 = {(\frac{3}{5})}^{5}$
  
  - 계속하여 i = 3, 4, 5, 6에 대해서도 계산을 수행합니다.
  
  이러한 계산들을 포함-배제 원리에 따라 합산하여 최종 확률을 구합니다.
  
  위 수식들을 계산하여 결과를 도출할 수 있습니다. 컴퓨터를 사용하여 이 계산을 자동화하면 더 효율적으로 정확한 결과를 얻을 수 있습니다.
  
  0
  
  댓글
- 세상의모든계산기 (*.105.205.197) 2024.07.28 13:13 #comment_45234
  제시된 문제: (중복 포함시)
  
  로또 6/45에서 5세트의 번호를 조합하여 하나의 큰 집합을 만들고, 이 집합 안에 당첨 번호 6개가 모두 포함될 확률을 구하는 문제입니다. 조합된 집합의 총 숫자는 6개(모두 중복)에서 30개(하나도 중복되지 않음) 사이가 될 수 있습니다.
  
  해결 방안:
  1. 표본 공간: 1부터 45까지의 숫자 중 6개를 선택하는 모든 경우의 수 (45C6)
  2. 사건: 조합된 집합 안에 당첨 번호 6개가 모두 포함되는 경우
  3. 확률: 위 사건이 발생할 확률
  문제점:
  - 조합된 집합의 크기가 가변적: 조합된 집합의 크기가 6개에서 30개까지 다양하기 때문에 단순한 조합 계산으로는 해결하기 어렵습니다.
  - 중복 고려: 조합된 집합 내에 숫자가 중복될 수 있는 경우를 고려해야 합니다.
  해결을 위한 접근 방식:
  1. 보수 사건 계산(=여집합 계산):
    - 조합된 집합에 당첨 번호가 하나라도 빠지는 경우를 계산하는 것이 더 효율적입니다.
    - 각 당첨 번호가 조합된 집합에 포함될 확률을 구하고, 이들의 보수를 취합니다.
  2. 포함-배제의 원리:
    - 여러 사건이 동시에 발생할 확률을 계산하는 데 유용한 방법입니다.
    - 각 당첨 번호가 조합된 집합에 포함될 확률과, 두 개의 당첨 번호가 동시에 포함될 확률, 세 개의 당첨 번호가 동시에 포함될 확률 등을 계산하여 포함-배제의 원리를 적용합니다.
  0
  
  댓글

세상의모든계산기 (*.105.205.197) 2024.07.28 23:34 #comment_45266

TI-Nspire 시뮬레이션

Define lotto5(n,un)=
Prgm
:Local i,j,k,l,match,favor,f_case
:0→f_case
:If un=0 Then
:  un=0
:Else
:  un=1
:EndIf
:
:For k,1,n
:randSamp(l45,6,1)→l6
:{}→l30
:
:If un=1 Then
:  randSamp(l45,30,un)→l30
:Else
:  For l,1,5
:    augment(l30,randSamp(l45,6,1))→l30
:  EndFor
:EndIf
:  1→favor
:
:
:For i,1,dim(l6)
:  0→match
:
:  For j,1,dim(l30)
:    If l6[i]=l30[j] Then
:      1→match
:      Exit
:    EndIf
:  EndFor
:
:  If match=0 Then
:    0→favor
:    Exit
:  EndIf
:EndFor
:
:
:If favor=1 Then
:  f_case+1→f_case
:
:EndIf
:
:EndFor
:Disp "f_case/total=",approx(((f_case)/(n)))*100,"(%)"
:
:EndPrgm

Attached file

- 세상의모든계산기 (*.105.205.197) 2024.07.28 23:43 #comment_45269
  
  lotto5(100000,1) 5회 결과:
  ㄴ f_case/total= 7.297(%),
  ㄴ f_case/total= 7.06(%)
  ㄴ f_case/total= 7.263(%)
  ㄴ f_case/total= 7.328(%)
  ㄴ f_case/total= 7.324(%)
  
  이론상 수치인 7.29%와 거의 유사함.
  
  0
  
  댓글
- 세상의모든계산기 (*.105.205.197) 2024.07.28 23:44 #comment_45272
  
  lotto5(100000,0) 5회 결과:
  ㄴ f_case/total= 1.366(%),
  ㄴ f_case/total= 1.445(%)
  ㄴ f_case/total= 1.391(%)
  ㄴ f_case/total= 1.312(%)
  ㄴ f_case/total= 1.361(%)
  
  이론상 수치인 1.78% 보다 낮고,
  
  python 시뮬레이션 결과인 1.375859 % 와 매우 유사함.
  
  0
  
  댓글
- 세상의모든계산기 (*.105.205.197) 2024.07.29 01:02 #comment_45280
  binomPdf(6,(13/15)^(5))
  
  {0.017815713785677,0.10226987830344,0.24461383112924,0.31204196776788,0.22390692882904,0.085688153870291,0.01366352631444}
  
  binomPdf(6,1-(13/15)^(5))
  
  {0.01366352631444,0.085688153870289,0.22390692882904,0.31204196776788,0.24461383112924,0.10226987830344,0.017815713785677}
  
  이항 분포를 이용한 로또 확률 계산 가능한가?
  
  binomPdf 함수 설명
  
  binomPdf(n, p)는 이항 분포의 확률 분포 함수(PDF)를 계산합니다.
  - n: 시행 횟수
  - p: 각 시행에서의 성공 확률
  로또 문제에 적용
  - n = 6 (당첨 번호의 개수)
  - p = (13/15)^5 (5게임 모두에서 특정 번호가 포함되지 않을 확률)
  결과 해석 (필요)
  
  binomPdf(6, (13/15)^5,0) = 0.017815713785677 // AI가 잘 못 알려준 이론적인 확률과 같음.
  binomPdf(6, 1-(13/15)^5,0) = 0.01366352631444 // 시뮬레이션 결과와 유사한데, 단지 우연일 뿐. 찾고자 하는 답이 아님.
  포함-배제 원리와의 비교
  - 이 방법은 포함-배제 원리를 사용한 복잡한 계산을 피하고, 직접적으로 원하는 확률을 계산합니다.
  결론
  
  binomPdf 함수를 사용하는 이 방법이 주어진 로또 문제를 해결할 수 없습니다.
  0
  
  댓글

세상의모든계산기 (*.87.218.229) 2024.07.30 10:09 #comment_45285

네, 맞습니다. 이제 이론적 확률과 시뮬레이션 결과가 매우 근접합니다. 이론적 확률 계산 알고리즘을 설명해 드리겠습니다.

이 알고리즘은 포함-배제의 원리를 사용하여 정확한 확률을 계산합니다. 주요 단계는 다음과 같습니다:

1. 전체 경우의 수 계산:
- 45개 숫자 중 6개를 선택하는 방법의 수를 5번 곱합니다.
- `total_ways = math.comb(total_numbers, numbers_per_set) ** num_sets`

2. 유리하지 않은 경우의 수 계산:
- 6개의 당첨 번호 중 1개에서 6개까지 빠지는 모든 경우를 고려합니다.
- 각 경우에 대해 포함-배제의 원리를 적용합니다.

3. 포함-배제의 원리 적용:
- 1개 숫자가 빠진 경우를 더하고,
- 2개 숫자가 빠진 경우를 빼고,
- 3개 숫자가 빠진 경우를 더하고,
- ...
- 이를 6개 숫자가 빠진 경우까지 반복합니다.

4. 최종 확률 계산:
- 1에서 (유리하지 않은 경우의 수 / 전체 경우의 수)를 뺍니다.

코드의 핵심 부분을 자세히 설명하면:

def theoretical_probability():
    total_numbers = 45
    numbers_per_set = 6
    num_sets = 5
 
    # Total number of ways to choose 5 sets of 6 numbers
    total_ways = math.comb(total_numbers, numbers_per_set) ** num_sets
 
    # Number of ways to choose 5 sets that don't include all winning numbers
    unfavorable_ways = 0
    for i in range(1, 7):  # 1 to 6 missing numbers
        for missing_combo in combinations(range(6), i):
            ways_without_missing = math.comb(total_numbers - i, numbers_per_set) ** num_sets
            unfavorable_ways += (-1)**(i+1) * ways_without_missing
 
    # Probability of including all winning numbers
    return 1 - (unfavorable_ways / total_ways)

- `i`는 빠진 당첨 번호의 개수입니다.
- `missing_combo`는 빠진 당첨 번호의 조합입니다.
- `ways_without_missing`는 특정 숫자들이 빠진 상태에서 5세트를 선택하는 방법의 수입니다.
- `(-1)**(i+1)`은 포함-배제 원리에 따라 더하거나 빼는 역할을 합니다.

최종적으로, 이 알고리즘은 모든 가능한 경우를 정확히 고려하면서도 계산을 효율적으로 수행합니다. 이는 직접적인 열거 방식보다 훨씬 빠르고 정확한 결과를 제공합니다.

이 방법의 장점은 다음과 같습니다:
1. 정확성: 모든 가능한 경우를 빠짐없이 고려합니다.
2. 효율성: 직접적인 열거 대신 조합론적 접근을 사용하여 계산 속도를 높입니다.
3. 일반성: 숫자나 세트의 수를 쉽게 변경할 수 있어 다양한 상황에 적용 가능합니다.

이 알고리즘을 통해 우리는 로또 6/45에서 5세트의 번호를 선택할 때, 6개의 당첨 번호가 모두 포함될 확률이 약 1.37585%임을 정확히 계산할 수 있었습니다.

- 세상의모든계산기 (*.87.218.229) 2024.07.30 10:22 #comment_45288
  
  실행 1회차
  
  Theoretical probability: 0.0137584627
  Simulated probability: 0.0137510000
  Difference: 0.0000074627
  
  실행 2회차
  Theoretical probability: 0.0137584627
  Simulated probability: 0.0136120000
  Difference: 0.0001464627
  
  0
  
  댓글
- 세상의모든계산기 (*.87.218.229) 2024.07.30 10:30 #comment_45291
  수학적 수식으로 나타내면?
  
  6/45 로또에서 5개 세트를 선택할 때 6개의 당첨 번호를 모두 포함할 확률 P는 다음과 같이 표현될 수 있습니다.
  
  $P = 1 - \frac{\sum_{i = 1}^{6} (- 1)^{i + 1} (\binom{6}{i}) {(\binom{45 - i}{6})}^{5}}{{(\binom{45}{6})}^{5}}$
  
  여기서:
  - ${(\binom{45}{6})}^{5}$ 는 45개의 숫자 중에서 6개의 숫자를 선택하는 5개 세트의 총 가짓수를 나타냅니다.
  - $\sum_{i = 1}^{6} (- 1)^{i + 1} (\binom{6}{i}) {(\binom{45 - i}{6})}^{5}$ 는 모든 당첨 번호를 포함하지 않는 5개 세트를 선택하는 가짓수로, 포함-배제 원리를 사용하여 계산됩니다.
  용어 설명:
  - $i$ 는 빠진 당첨 번호의 개수(1에서 6까지)를 나타냅니다.
  - $(\binom{6}{i})$ 는 6개의 당첨 번호 중에서 i개의 빠진 번호를 선택하는 가짓수입니다.
  - ${(\binom{45 - i}{6})}^{5}$ 는 나머지 (45-i)개의 숫자 중에서 6개의 숫자를 선택하는 5개 세트의 가짓수입니다.
  - $(- 1)^{i + 1}$ 은 포함-배제 원리에 따라 덧셈과 뺄셈을 번갈아 가며 적용합니다
  Attached file
  image.png 65.2KB / 6
  
  0
  
  댓글
- 세상의모든계산기 (*.87.218.229) 2024.07.30 10:56 #comment_45295
  
  AI에서는 자꾸 이런식으로 알려줘서 오류
  
  Attached file
  image.png 20.8KB / 6
  
  0
  
  댓글

세상의모든계산기 (*.87.218.229) 2024.07.30 20:40 #comment_45332

등위별 당첨 확률

등위	당첨방법	당첨확률	당첨금의 배분 비율
1등	6개 번호 일치. ncr(6,6)=1	1 / 8,145,060 =0.00001228%	총 당첨금 중 4등, 5등 금액을 제외한 금액의 75%
2등	5개 번호 일치 + 보너스 번호일치 nCr(6,5)*nCr(1,1)=6	1 / 1,357,510 =0.00007366%	총 당첨금 중 4등, 5등 금액을 제외한 금액의 12.5%
3등	5개 번호 일치 nCr(6,5)*nCr(45-6-1,1)=228	19 / 678755 =0.00279924%	총 당첨금 중 4등, 5등 금액을 제외한 금액의 12.5%
4등	4개 번호 일치 nCr(6,4)*nCr(45-6,2)=11115	741 / 543004 =0.136463083%	50,000원
5등	3개 번호 일치 nCr(6,3)*nCr(45-6,3)=182780	9139 / 407253 =2.244059589%	5,000원

* 참고 :

https://dhlottery.co.kr/gameInfo.do?method=buyLotto

댓글 쓰기 에디터 사용하기 닫기

목록 목록

SEARCH

수학, 과학, 공학

[확률] - 6/45 로또를 5게임을 선택 했을 때, 당첨 번호 6개가 5게임의 모든 숫자들의 집합에 포함될 확률은?

로또 확률 - 6/45 로또를 5게임을 선택 했을 때, 당첨 번호 6개가 5게임의 모든 숫자들의 집합에 포함될 확률은?

1) 5set 모두 숫자가 안겹치는 경우

2) 5set 숫자가 서로 겹치는 걸 허용하는 경우

수학적 해결 방법

문제 정의

수학적 접근

반대의 경우 :

1등 번호가 5게임의 숫자에 아무것도 들어기지 않는 경우

댓글 11

포함-배제 원리를 사용하여 1등 번호 6개가 5개의 게임에서 모두 포함될 확률을 구하는 방법

1. 포함-배제 원리 개요

2. 포함-배제 원리를 적용한 확률 계산

3. 최종 확률 계산

TI-Nspire 시뮬레이션

binomPdf(6,(13/15)^(5))

binomPdf(6,1-(13/15)^(5))

이항 분포를 이용한 로또 확률 계산 가능한가?

binomPdf 함수 설명

로또 문제에 적용

결과 해석 (필요)

포함-배제 원리와의 비교

결론

수학적 수식으로 나타내면?

등위별 당첨 확률