[공학용 계산기] 계산기의 가장 큰 수는? 자릿수 한계 (feat. 팩토리알)
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- 2026.03.01 - 12:09 2015.08.14 - 14:11 5242 12
1. 계산기별 factorial 계산시 결과
| Factorial | ~69! | 70!~449! | 450!~1006! | 1007!~3248! | 3249!~ |
|---|---|---|---|---|---|
| EL-509W | O | X(Error 2) | X | X | X |
| fx-570ES, EX | O | X(Math Error) | X | X | X |
| fx-9860G | O | X(Ma Error) | X | X | X |
| TI-nspire, 89T | O | O | X(450!) | X | X |
| HP Prime | O | O | O | X(∞) | |
| 윈도우10 내장 | O | O | O | O | X(Overflow) |
* CAS 계산기인 HP Prime 이나 TI-nspire 와 같은 상급계산기는
정수에 한정하여 내부 유효 자릿수(14 digits)와 관계없이 가능한 한도 내에서는 자연수 결과(참값)를 유지하지만,
기타 공학용 계산기는 내부 유효 자릿수(보통 14자리) 이상이 되면 예외없이 참 값을 버리고
부동소숫점 형식으로 단순화해서 근사값으로 계산합니다.
* 참고
69! = 1.71122e+98
70! = 1.19786e+100
449! = 3.85193e+997
500! = 1.22014e+1134
1006! = 4.10908e+2585
1007! = 4.13784e+2588
2000! = 3.316275e+5735
3000! = 4.14936e+9130
3248! = 1.97363e+9997
50000! = 3.34732... × 10^213236
1. nspire에서 500! 이상을 이용한 계산은 표기만 될 뿐, 실제로 이루어지지 않음
2. 기존 윈도우 계산기는 그만둘지 물어보는 창이 나와도 백그라운드로 계속 계산하여 결국에는 계산이 되었지만, 지금(윈도우10)은 그냥 오버플로우 메시지만 띄움
2. 검증 (500! 계산시)
1) Wolfram Alpha
2) TI-nspire
ㄴ 입력한 ! 심볼을 그대로 결과에 표함시켜 표시되지만, 실제 계산이 불가능하며 오류가 유발됨.
3) HP Prime
계산도 되고, 저장도 되고, 연산도 잘 되는데...
지수형식으로 저장하면, 그보다 작은 수에서도 Inf (CAS 의 경우) 가 나옴.
-> 정수 저장공간(array)이 따로 설정되는 듯 하고,
지수 형식의 경우 Double Precision 제한 받는 듯 함.
-> Home 에서는 9.99999999999*E499 이상의 숫자 입력시 9.99999999999*E499 로 강제로 바뀜
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댓글12
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세상의모든계산기
울프람 신께서는 한계도 없는지 계속 결과를 뽑아내 주시는데... 맞는지 틀리는지 검증할 방법이 없어서 그만 뒀습니다.
의심은 불경한 짓인가?
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세상의모든계산기
fx-570 ES 로 70! (스털링 근사) 값 구하기
1. 70! 을 직접 구하면 ➡️ 한계값을 넘어서 ERROR
2. ln(70!)의 근사값을 구함
ln(70!) ≈ 70*ln(70) - 70 + (1/2)ln(2*π*70)
3. 즉, ln(70!) ≈ 230.4378531...... 인데, 소숫점 지수형식으로 변환하려면
이 값을 ln(10)으로 나누면 됨. (밑이 10인 상용로그로 바뀜)
ln(70!)÷ln(10) ≈ 230.4378531......÷ln(10)
log(70!) ≈ 100.077888
70! ≈ 10^(100.077888) = 10^100 × 10^(0.077888) 이므로
최종 결과로
1.196432005 ×10^(100) 을 얻게 됨.
1.197857166997×10^(100) 과 비교하면 오차가 크리 크지 않음을 알 수 있음.
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세상의모든계산기
같은 방식으로 500! 근사값을 구해보면
1.219933487 × 10^(1134)
1.22013682599111006870123878542304692625357434280319284219241358838 × 10^(1134) (참값, 울프람 알파)
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세상의모든계산기
중간값 오류 가능성
http://kin.naver.com/qna/detail.nhn?d1id=5&dirId=50105&docId=236207580&ref=me2lnk
(최종결과값은 계산기 한계 이내일지라도)
계산식 중간에 계산기 한계를 넘는 중간결과가 발생하면
최종 결과의 오류로 이어질 수 있습니다.
이런 경우에는 계산 순서를 적절히 조절하여 한계를 벗어나지 않게 하거나,
단위를 줄여서(?) 계산하는 등의 편법이 필요합니다.예시)
A = 9.11*10^(-31),
B = (1.6*10^(-19))^4,
C = (4π*(8.85*10^(-12)))^2,
D = (1.054*10^(-34))^2
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세상의모든계산기
fx-9860GII 에서도 똑같은 증상
http://kin.naver.com/qna/detail.nhn?d1id=11&dirId=113111&docId=286373393 -
세상의모든계산기
[fx-570 ES] 과학 상수를 이용한 계산에서 에러 발생 상황
https://kin.naver.com/qna/detail.naver?d1id=11&dirId=1118&docId=492235162&page=1&answerNo=1
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세상의모든계산기
계산기 설명서에는 계산기에서 사용 가능한 숫자의 범위가 나옵니다. 이를 통해 몇 펙토리알까지 계산이 가능할지도 추정해 볼 수 있겠지요.
└ fx-5800p 설명서 중 발췌 ┘ -
세상의모든계산기
'왜 1.79769313E+308 일까?'
https://stackoverflow.com/questions/22402885/why-is-number-max-value-1-7976931348623157e308-instead-of-9007199254740992e102
바드 AI 에 물어보니
삼성 갤럭시 계산기 최대값이 1.79769313E+308 이던데 그 이유가 뭐야?
삼성 갤럭시 계산기의 최대값이 1.79769313E+308인 이유는 IEEE 754라는 부동소수점 표준을 따르기 때문입니다. IEEE 754는 컴퓨터에서 실수를 표현하는 방식을 정의하는 표준이며, 이 표준에 따르면 **'double precision'**이라는 형식으로 표현되는 실수의 최대값은 1.7976931348623157E+308입니다.
이유:
2진수 표현: 컴퓨터는 모든 정보를 2진수로 표현합니다. 실수를 표현하기 위해서는 가수와 지수라는 두 가지 정보가 필요합니다. 가수는 실수의 값을, 지수는 실수의 크기를 나타냅니다.
정밀도: IEEE 754 표준은 'double precision' 형식에서 가수를 53비트, 지수를 11비트를 사용하여 표현합니다. 53비트는 약 16자리의 10진수 숫자를 표현할 수 있으며, 11비트는 -308부터 308까지의 지수를 표현할 수 있습니다.
최대값 계산: 'double precision' 형식에서 표현할 수 있는 최대값은 2^53 - 1 (가수의 최대값) * 2^308 (지수의 최대값)입니다. 이 값을 계산하면 1.7976931348623157E+308입니다.
참고:
'double precision' 형식보다 더 큰 값을 표현할 수 있는 'quad precision' 형식도 존재하지만, 이 형식은 모든 컴퓨터에서 지원되는 것은 아닙니다.
IEEE 754 표준은 실수를 표현하는 가장 일반적인 표준이지만, 다른 표준도 존재합니다.
결론:
삼성 갤럭시 계산기의 최대값이 1.79769313E+308인 이유는 IEEE 754 표준을 따르기 때문입니다. 이 표준은 컴퓨터에서 실수를 표현하는 방식을 정의하며, 'double precision' 형식으로 표현할 수 있는 최대값은 1.7976931348623157E+308입니다.
세상의모든계산기 님의 최근 댓글
- claude AI는 l-c*r^2 을 1-c*r^2 으로 잘못 읽고 표시하고 있습니다. - TI-nspire CAS 계산기에 l-c*r^2 ≥0 을 조건에 추가해 계산해 보아도 결과는 바뀌지 않습니다. 2026 07.20 ⚠️ 경고가 바로 두 번째 방법이 "성공"한 이유와 정확히 연결되어 있습니다. 경고의 의미 "Domain of the result might be larger than the domain of the input"는 CAS가 절댓값(모듈러스)을 계산하는 과정에서 원래 식보다 정의역이 더 넓은 형태로 단순화했다는 뜻입니다. 구체적으로 이 계산은 내부적으로 대략 이런 과정을 거칩니다. $$\left|\frac{er}{e\cdot r}\right| = \sqrt{\left(\frac{er}{e\cdot r}\right)\cdot\overline{\left(\frac{er}{e\cdot r}\right)}}$$ 즉 원래 식(복소수)과 그 켤레복소수를 곱해서 실수부·허수부 제곱합을 만들고, 거기에 다시 제곱근을 씌우는 과정입니다. 이 과정에서 √(x²) → x 또는 √a·√b → √(ab) 같은 규칙들이 쓰이는데, 이런 규칙들은 x가 실수이고 0 이상일 때만 엄밀하게 성립합니다. CAS는 이 조건들을 일일이 다 추적하지 않고 넘어가면서, 원래는 (e≠0, r+l·ω·i ≠ 0 등) 복소수 특유의 좁은 정의역을 가진 식을, r, l, ω가 어떤 실수여도(부호 무관하게) 정의되는 1/√(r²+l²·ω²)라는 더 넓은 정의역의 식으로 바꿔버린 것입니다. CAS는 이 손실을 감지하고 경고를 띄운 것입니다. 이게 왜 조건 대입 성공과 연결되는가 정리하면, 이 경고는 사실상 이런 뜻입니다. "나는 이 결과를 만들면서 원래 식이 가지고 있던 정의역 제약 정보(부호 조건, i 관련 조건 등)를 이미 버렸다." 바로 이 "정의역 정보를 버린" 상태가 이후 con_1 대입을 매끄럽게 만드는 원인입니다. 첫 번째 시도에서는 i가 살아있는 원래 식에 조건을 대입했기 때문에, CAS가 √(1-c·r²)이 실수인지(정의역 조건: 1-c·r² ≥ 0) 계속 추적하려고 했고, 그 정보가 con에 없어서 더 이상 정리를 못 하고 멈췄습니다. 두 번째 시도에서는 절댓값 계산 단계에서 이미 그런 세밀한 정의역 추적을 CAS 스스로 포기(단순화)했기 때문에, 이후 ω에 무리식을 대입해도 "이게 실수가 맞나?" 하는 검증 절차 없이 그냥 대수적으로 치환·정리해 버립니다. 그래서 깔끔하게 √c/√l이 나온 겁니다. 한 줄 요약 절댓값 계산 시 뜬 "정의역이 넓어졌을 수 있다"는 경고는, CAS가 그 순간에 원래 식의 엄밀한 조건(정의역)을 놓쳤다는 신호이고, 바로 그 "조건을 놓친 상태"이기 때문에 뒤에 이어지는 조건식 대입이 막힘없이 진행된 것입니다. 다만 그 대가로, 결과인 1/√(r²+l²·ω²)이나 최종 √c/√l이 원래 회로 조건(i≠0이 되는 경계, 분모가 0이 되는 경우 등)에서는 엄밀히 성립하지 않을 수 있다는 점은 감안하셔야 합니다. 실제 물리적으로는 r, l, c > 0이고 결과도 물리적으로 타당한 형태라 문제없어 보이지만, 수학적 엄밀성 측면에서는 "정의역이 넓어진 근사적 결과"라는 꼬리표가 붙어있는 셈입니다. 2026 07.20 Claude AI 답변 TI-Nspire CAS의 | (such that / 조건대입) 연산자는 대입 시점의 수식 형태를 그대로 두고 기호만 치환하는 연산입니다. 대입 후에 처음부터 다시 "실수부/허수부 분리, 유리화" 같은 재간소화를 자동으로 수행하지 않습니다. 이 차이가 지금 보신 결과 차이의 핵심입니다. 첫 번째 경우 (|er/(e·r)| | con_1 and con → 실패) 이 시점의 식은 아직 r + l·ω·i 형태의 복소수 그대로입니다 (i가 살아있음). 여기에 con_1: ω = √(1-c·r²)/(√c·l)을 대입하면, 분모 안에 i · √(1-c·r²) 라는 항이 새로 생깁니다. 문제는 CAS가 √(1-c·r²)이 실수인지(즉 1-c·r² ≥ 0인지) 판단할 근거가 없다는 겁니다. 저장해 두신 con 조건은 c>0, l>0, r>0뿐이고, 1-c·r²≥0이라는 조건은 포함되어 있지 않습니다. 그래서 CAS는 i와 이 무리식을 더 정리(유리화, 실수부·허수부 재결합)하지 못하고 있는 그대로 남겨둡니다. 결과에 여전히 i가 보이는 이유입니다. 두 번째 경우 (결과값 1/√(r²+l²·ω²)에 대입 → 성공) |er/(e·r)| (절댓값/모듈러스) 연산은 그 자체로 이미 "복소수 → 실수" 변환을 완료한 결과입니다. 즉 1/√(r²+l²·ω²)에는 더 이상 i가 없고, 순수하게 r, l, ω로만 이루어진 실수식입니다. 이 식에 ω = con_1을 대입하는 것은 그냥 실수 대수식에 실수 대입하는 것이므로, i와 무리식이 뒤엉키는 문제 자체가 발생하지 않습니다. 그래서 바로 깔끔하게 √c/√l로 정리됩니다. 정리하면 절댓값(모듈러스) 계산은 "이 값들이 실수다"라는 가정을 이미 내부적으로 써서 i를 제거하는 연산입니다. 그 연산을 조건 대입 이전에 해두면, 이후 대입은 단순 실수 대입이라 문제없이 정리됩니다. 반대로 i가 남아있는 식에 무리식을 포함한 조건을 먼저 대입하면, 그 무리식의 실수성/부호에 대한 가정이 없어서 CAS가 i를 소거하는 재간소화를 못 하고 멈춰버립니다. 실용적 팁: 복소식에 조건을 대입해야 할 때는 가능하면 절댓값·실수화(유리화) 등을 먼저 끝내서 i를 없앤 뒤 조건을 대입하거나, 대입 후 결과에 다시 simplify/expand/combine 같은 명령을 한 번 더 걸어주면 (필요한 도메인 조건과 함께) 정리가 되는 경우가 많습니다. 2026 07.19 저도 어림잡아 추측할 뿐이지 정확한 이유를 알지는 못합니다. 질문하신 사진을 그대로 (Gemini 3.5 Flash / ChatGPT / Claude Sonnet 5) AI에 넣어 보니 claude AI 가 제일 합리적인 답변을 주어서 이를 붙여 넣습니다. 2026 07.19 아 그렇네요. 감사합니다. ^^ 2026 04.28