[TI-nspire] 행렬 LU 분해 = LU Decomposition = LU fatorization

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  세상의모든계산기

  2015.11.02 - 18:59 2015.11.02 - 17:06 #9605

  아래 링크의 행렬을 분해하여 보겠습니다.

  http://blog.naver.com/mykepzzang/220147195141

  
  

   1행, 2행, 3행의 1열 계수가 완전 역순으로 배열되어 있습니다.

  

  
  

   1행과 3행을 각각 m1배, m3배 하여줍니다.

  

  
  

   분해된 U와 M을 가공하여 원래의 Lower, Upper Matrix를 뽑아냅니다.
  

  
  

  Attached file

  11-02-2015 Image009.png 10.1KB 213 11-02-2015 Image010.png 8.8KB 175 11-02-2015 Image011.png 6.7KB 191

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  세상의모든계산기

  2025.04.20 - 15:24 2015.11.03 - 14:21 #9640

  1. 크라우트법

  A=L×U 로 분해하는 또 다른 방법은 크라우트법(=Crout Method)이라고 불리는데, 위의 분해와 반대로 U의 대각행렬의 값에 1을 넣고, L의 대각행렬에 1이 아닌 값을 넣는 것입니다. 

  이 방법은 nspire 내부 기능으로 구현되어 있지 않으므로, 프로그램을 새로 만들어서 실행하거나, nspire의 LU 기능으로 구해진 값을 가공하여 얻어야 합니다. 

   

  2. 가공 방법

  Nspire에 의한 분해를 A=L×U라고 하고, Crout Method 에 의한 분해를 A=L'×U' 라고 하면

  1. LU 명령으로 L과 U 를 구하고, U에서 대각행렬 D 를 찾아냄 
     주의 : A의 대각행렬이 아니고 U의 대각행렬임
  2. L' = L×D
  3. U' = D^-1×U

  
  ㄴ diag(diag(U)) 함수를 두번 돌린 이유는.... 해보시면 압니다. 

   

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  11-03-2015 Image005.png 14.3KB 162

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  세상의모든계산기

  2025.04.20 - 15:37 2025.04.20 - 15:35 #54690

  예시
  https://kin.naver.com/qna/detail.naver?d1id=11&dirId=111301&docId=484354094&qb=6rOE7IKw6riw&enc=utf8&answerNo=1

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  lu_crout.tns 2.0KB 12

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  세상의모든계산기

  2024.10.07 - 17:36 2024.10.07 - 16:08 #49292

  LU 프로그램 (TI nspire의 LU 기능 사용하지 않음)

  ---

   

  LU 분해는 주어진 정방행렬 A를 하삼각행렬 L(Lower triangular matrix)과 상삼각행렬 U(Upper triangular matrix)의 곱으로 분해하는 과정입니다.

  즉, A = LU를 만족하는 L과 U를 찾는 것입니다.

   

  알고리즘의 주요 단계는 다음과 같습니다:

  1. 초기화:
     - n x n 크기의 단위행렬 L을 생성합니다.
     - n x n 크기의 0행렬 U를 생성합니다.

  2. 행렬 분해:
     - i = 1부터 n까지 반복:
       - j = 1부터 n까지 반복:
         - U의 원소(i ≤ j인 경우)와 L의 원소(i > j인 경우)를 계산합니다.

  3. U 행렬 계산 (i ≤ j):
     u[i,j] = a[i,j] - Σ(k=1 to i-1) l[i,k] * u[k,j]

  4. L 행렬 계산 (i > j):
     l[i,j] = (a[i,j] - Σ(k=1 to j-1) l[i,k] * u[k,j]) / u[j,j]

  이 알고리즘을 코드에 적용하면 다음과 같습니다:

   

  Define LibPub lunp(matrix)=
  Prgm
  :Local n,i,j,k,summ
  :
  :n:=dim(matrix)[1]
  :l:=identity(n)
  :u:=newMat(n,n)
  :
  :For i,1,n
  :  For j,1,n
  :    summ:=0
  :    For k,1,i-1
  :      summ:=summ+l[i,k]*u[k,j]
  :    EndFor
  :    If i≤j Then
  :      u[i,j]:=matrix[i,j]-summ
  :    Else
  :      l[i,j]:=((matrix[i,j]-summ)/(u[j,j]))
  :    EndIf
  :  EndFor
  :EndFor
  :
  :
  :Disp "l=",l
  :Disp "u=",u
  :EndPrgm

   

  이 과정을 통해:

  1. U 행렬의 대각선 및 상삼각 부분이 채워집니다.
  2. L 행렬의 하삼각 부분이 채워집니다 (대각선은 이미 1로 초기화되어 있음).

  각 단계에서 이전에 계산된 L과 U의 원소들을 사용하여 새로운 원소를 계산합니다. 이 과정이 모든 원소에 대해 반복되면, 최종적으로 A = LU를 만족하는 L과 U 행렬이 생성됩니다.

  이 알고리즘의 핵심은 가우스 소거법과 유사하지만, 원래 행렬의 원소들을 L과 U에 적절히 분배하는 것입니다.

   

  

  ---

   

  별도의 라이브러리로 만드는 것보다는

  matrix 확장 라이브러리에 추가해 두는게 좋겠네요. 

  https://allcalc.org/1843

   

  

   

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  lu_decomposition.tns 3.1KB 21 image.png 78.2KB 19 image.png 6.4KB 21

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  세상의모든계산기

  2025.04.20 - 11:10 2025.04.20 - 11:08 #54677

  LU 분해는 조건에 따라 답이 여러 개가 나올 수 있습니다.

  ---

  🎯 핵심 개념 요약

  LU 분해란 어떤 행렬 AA를 두 개의 행렬 L (Lower triangular)과 U (Upper triangular)로 나누는 것인데요, 다음과 같은 형태예요:

  A=L*U

  하지만 이 분해가 "유일한 해를 갖는가?" 에 대해서는 다음과 같은 조건들이 영향을 줍니다.

  ---

  💡 LU 분해의 유일성 여부는?

  1. Pivoting(피벗팅) 없이 LU 분해할 때

     • 모든 주대각선 원소들이 0이 아니고 (즉, 행 교환 없이도 가능한 경우)

     • L의 대각 원소를 모두 1로 제한하면
       → LU 분해는 유일합니다.

  2. Pivoting을 허용하거나, L에 1이 아닌 대각선 값을 허용하면
     → LU 분해는 여러 개가 가능합니다.

  즉, 어떤 조건을 주느냐에 따라 하나로 정해지거나, 여러 개가 될 수 있어요.

  ---

  예를 들어

  아래와 같은 A에 대해:

  \begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 1 & 3 & 5 \\ 0 & 2 & 4 \\ \end{bmatrix}

  이걸 LU로 분해할 때:

  • Pivot 없이 L의 대각을 1로 고정하면, LU는 유일함.

  • 다른 방식으로 분해하거나, Partial Pivoting을 사용하면 P, L, U의 조합은 여러 가지가 나올 수 있어요.

  ---

  결론

  LU 분해는 조건을 명확히 지정하지 않으면, 일반적으로 유일하지 않을 수 있습니다.

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  세상의모든계산기

  2025.04.20 - 11:24 2025.04.20 - 11:11 #54680

  피벗 없이, L의 대각선을 모두 1로 고정한 LU 분해 예제를 같이 해볼게요.

  ---

  🎯 예제 행렬

  $$ A = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 1 & 3 & 5 \\ 0 & 2 & 4 \\ \end{bmatrix} $$

  이걸 다음과 같이 분해할 거예요:

  A=LU

  • L: 단위 하삼각행렬 (대각선이 1)

  • U: 상삼각행렬

  ---

  🧩 Step 1: 초기 형태 설정

  $$ L = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ l_{21} & 1 & 0 \\ l_{31} & l_{32} & 1 \\ \end{bmatrix}, \quad U = \begin{bmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} \\ 0 & u_{22} & u_{23} \\ 0 & 0 & u_{33} \\ \end{bmatrix} $$

  ---

  🧮 Step 2: 곱셈해서 좌변과 우변 비교

  $$ LU = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ l_{21} & 1 & 0 \\ l_{31} & l_{32} & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} \\ 0 & u_{22} & u_{23} \\ 0 & 0 & u_{33} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} \\ l_{21}u_{11} & l_{21}u_{12} + u_{22} & l_{21}u_{13} + u_{23} \\ l_{31}u_{11} & l_{31}u_{12} + l_{32}u_{22} & l_{31}u_{13} + l_{32}u_{23} + u_{33} \\ \end{bmatrix} $$

  이걸 원래 A와 비교:

  $$ \begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 1 & 3 & 5 \\ 0 & 2 & 4 \\ \end{bmatrix} $$

  항목별 비교해봅시다.

  ---

  🔍 Step 3: 항목별 대입

  1. 첫 행:

     $$ u_{11} = 2,\quad u_{12} = 4,\quad u_{13} = 6 $$

  2. 두 번째 행:

     $$ l_{21} \cdot 2 = 1 \Rightarrow l_{21} = \frac{1}{2} $$
     $$ l_{21} \cdot 4 + u_{22} = 3 \Rightarrow 2 + u_{22} = 3 \Rightarrow u_{22} = 1 $$
     $$ l_{21} \cdot 6 + u_{23} = 5 \Rightarrow 3 + u_{23} = 5 \Rightarrow u_{23} = 2 $$

  3. 세 번째 행:

     $$ l_{31} \cdot 2 = 0 \Rightarrow l_{31} = 0 $$ 
     $$ l_{31} \cdot 4 + l_{32} \cdot 1 = 2 \Rightarrow 0 + l_{32} = 2 \Rightarrow l_{32} = 2 $$
     $$ l_{31} \cdot 6 + l_{32} \cdot 2 + u_{33} = 4 \Rightarrow 4 + u_{33} = 4 \Rightarrow u_{33} = 0 $$

  ---

  ✅ 결과

  $$ L = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ \end{bmatrix},\quad U = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} $$

  ---

  ⚠️ 참고사항

  • UU의 마지막 대각 원소가 0 → 이건 A가 가역행렬이 아님을 의미해요 (즉, det(A) = 0).

  • 그래도 LU 분해는 가능함! 단, 유일성은 위와 같이 조건을 명확히 해야 해요.

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  세상의모든계산기

  2025.04.20 - 15:25 2025.04.20 - 11:26 #54683

  LU 기능 이용 : 

  

  ㄴ 퍼뮤테이션 있음. 

  퍼뮤테이션 없애려면 계수행렬(m) 곱해야 함. 

  

   

  프로그램(라이브러리) 이용

  

  ㄴ 라이브러리 : https://allcalc.org/1843

   

  ---

   

  nspire 에서 기본 기능(함수)인 LU 만을 이용하는 경우, 
  하삼각행렬의 대각행렬이 1이 아닌 L*U 로 분해할 방법은 없는 듯 합니다. 

  Attached file

  image.png 31.4KB 15 image.png 28.4KB 15 lu_gpt.tns 2.0KB 72 image.png 30.2KB 12

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