- 세상의 모든 계산기 수학, 과학, 공학 이야기 공학
Fourier Transform 푸리에 변환: 복잡한 신호를 단순한 주파수 성분으로 분해하기
-
- *.40.137.167
- 2024.11.13 - 13:07 2024.11.11 - 13:26 11 6
각종 신호를 시간의 흐름기준 ⇔ 주파수의 구성기준 옮겨주는 수학적 도구입니다.
이것저것 넣고 주문한 서브웨이 샌드위치를 분해해서 그 요소를 빵/야채/소스로 각각 구분해 알아보는 것과 같습니다.
왜 푸리에 변환이 필요할까요?
- 신호 분석: 복잡한 소리, 이미지, 심지어는 주식 시장의 변동까지도 다양한 주파수 성분으로 이루어져 있습니다. 푸리에 변환은 이러한 신호들을 구성하는 주파수 성분을 분석하여 신호의 특징을 파악하고, 노이즈를 제거하거나 특정 주파수 성분을 강조하는 등 다양한 신호 처리 작업에 활용됩니다.
- 데이터 압축: 이미지나 음악 파일을 압축할 때, 불필요한 고주파 성분을 제거하여 파일 크기를 줄일 수 있습니다.
- 미분 방정식 해석: 물리학이나 공학 분야에서 등장하는 많은 미분 방정식은 푸리에 변환을 이용하여 더 쉽게 해석할 수 있습니다.
푸리에 변환의 기본 아이디어
푸리에 변환은 임의의 함수를 sin과 cos 함수의 무한한 합으로 표현하는 것입니다. 즉, 복잡한 함수를 단순한 주기 함수들의 조합으로 나타내는 것이죠.
- 시간 영역 vs. 주파수 영역:
- 시간 영역: 우리가 일반적으로 경험하는 시간에 따른 신호의 변화를 나타내는 영역입니다.
- 주파수 영역: 푸리에 변환을 통해 얻은 주파수 성분을 나타내는 영역입니다. 주파수 영역에서 신호를 분석하면 어떤 주파수 성분이 얼마나 포함되어 있는지 알 수 있습니다.
-
푸리에 급수와의 연결:
- 주기 함수를 푸리에 급수로 표현하는 공식에서 주기를 무한대로 보내면 푸리에 변환의 공식이 나온다는 것을 보일 수 있습니다.
- 이는 주기 함수를 매우 긴 주기의 함수로 생각하고, 이 함수를 푸리에 급수로 표현한 후 주기를 무한대로 보내는 과정을 통해 푸리에 변환으로 연결됩니다.
-
복소 지수 함수를 이용한 표현:
- sin과 cos 함수를 복소 지수 함수를 이용하여 표현하면 푸리에 변환의 공식이 더욱 간결하게 나타납니다.
- 복소 지수 함수는 회전하는 벡터를 나타내므로, 푸리에 변환은 함수를 회전하는 벡터들의 합으로 표현하는 것으로 해석할 수 있습니다.
-
함수 공간론:
- 푸리에 변환은 함수 공간에서의 변환으로 이해할 수 있습니다.
- 함수 공간은 함수들을 벡터처럼 다루는 공간으로, 푸리에 변환은 이 함수 공간에서의 특정한 선형 변환입니다.
푸리에 변환 공식
시간 영역의 함수 f(t)의 푸리에 변환 F(ω)는 다음과 같이 정의됩니다.
\[ F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \, e^{-i \omega t} \, dt, \]
- ω: 각 주파수
- i: 허수 단위
역푸리에 변환은 주파수 영역의 함수 F(ω)를 다시 시간 영역의 함수 f(t)로 변환하는 과정이며, 다음과 같이 정의됩니다.
\[ f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) \, e^{i \omega t} \, d\omega. \]
푸리에 변환의 예시
- 사각파: 사각파는 다양한 주파수 성분의 sin 함수들의 합으로 표현될 수 있습니다.
- 음악 신호: 음악 신호는 기본 주파수와 그 배음들의 합으로 이루어져 있습니다. 푸리에 변환을 통해 각 음의 높낮이와 강도를 분석할 수 있습니다.
- 빛: 빛 역시 다양한 파장의 빛들의 합으로 이루어져 있습니다. 프리즘을 통해 빛을 분산시키는 현상은 빛을 구성하는 다양한 파장의 빛들을 분리하는 과정이라고 볼 수 있습니다.
푸리에 변환의 종류
- 연속 푸리에 변환: 위에서 설명한 일반적인 푸리에 변환입니다.
- 이산 푸리에 변환 (DFT): 디지털 신호에 적용되는 푸리에 변환으로, 컴퓨터로 계산하기에 적합합니다.
- 고속 푸리에 변환 (FFT): DFT를 더 빠르게 계산하기 위한 알고리즘입니다.
푸리에 변환의 응용
- 음성 인식: 음성 신호를 주파수 성분으로 분해하여 특징을 추출하여 음성 인식에 활용합니다.
- 영상 처리: 이미지를 주파수 성분으로 분해하여 노이즈 제거, 엣지 검출 등 다양한 영상 처리 작업에 활용합니다.
- 통신 시스템: 신호를 주파수 영역으로 변환하여 전송 효율을 높이고, 간섭을 줄입니다.
참고 링크
https://blog.naver.com/songsite123/222940646211
https://infograph.tistory.com/283
댓글 6
-
-
-
-
-
푸리에 변환이 가능하려면 함수가 특정한 조건을 충족해야 합니다. 대표적인 제한 사항은 다음과 같습니다.
1. 절대적 적분 가능성 (Absolute Integrability): 푸리에 변환을 위해, 함수 \( f(x) \)는 다음 조건을 만족해야 합니다.
\[
\int_{-\infty}^{\infty} |f(x)| \, dx < \infty
\]
즉, 함수의 절대값이 무한 구간에서 적분 가능해야 합니다. 이 조건은 함수가 특정 구간에서 지나치게 발산하지 않아야 한다는 것을 의미합니다.2. 유한한 에너지 (Square Integrable): \( L^2 \) 공간에 속하는 함수, 즉 제곱 적분 가능 함수도 푸리에 변환이 가능합니다. 이 경우,
\[
\int_{-\infty}^{\infty} |f(x)|^2 \, dx < \infty
\]
와 같은 조건을 만족하는 함수는 푸리에 변환이 가능합니다.3. 주기성 및 정규성: 주기적인 신호의 경우, 푸리에 변환 대신 푸리에 급수를 사용하여 표현할 수 있습니다.
그러나 정규성이 결여된 경우, 예를 들어, 디랙 델타 함수와 같은 분포(distribution)는 고전적인 의미의 함수가 아니지만 푸리에 변환의 개념을 확장하여 다룰 수 있습니다.
푸리에 변환이 제대로 정의되려면 적어도 위 조건을 충족해야 하며, 그렇지 않은 경우 발산할 수 있습니다.
-
-
-
-
극좌표에서 주기 함수가 특정 방향에만 나타나거나 특정 방향이 비어 있는 현상
1. 주기 함수와 푸리에 급수의 기본 개념
푸리에 급수는 주기적인 함수 \( f(\theta) \)를 사인과 코사인 함수의 합으로 표현하는 것입니다:
\[
f(\theta) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos(n\theta) + b_n \sin(n\theta) \right)
\]
여기서 각 성분은 특정 주파수와 관련된 파동으로, 주파수가 높아질수록 빠르게 변동하는 패턴을 추가하게 됩니다. 푸리에 급수의 주파수 성분에 따라 특정 방향에만 점이 그려지거나 특정 방향이 비어 있을 수 있습니다.2. 특정 방향에 그래프가 나타나는 경우
극좌표 함수 \( r(\theta) = f(\theta) \)가 특정 방향에만 나타나는 경우는 주로 푸리에 급수에서 특정 주파수 성분이 강하게 작용하거나, 위상(offset)이 특정 방향을 향하게 하는 경우입니다. 예를 들어, \( f(\theta) = \cos(2\theta) \) 또는 \( \sin(3\theta) \) 같은 경우:
- \( \cos(2\theta) \)는 한 주기에서 두 번 양수와 음수를 반복하여 총 4 방향으로 그래프가 그려집니다.
- \( \sin(3\theta) \)는 120도 간격으로 반복되기 때문에 세 방향에 걸쳐 대칭적으로 그래프가 나타납니다.이처럼 푸리에 급수의 특정 주파수 성분이 극좌표에서 특정 방향으로만 그래프가 나타나게 할 수 있습니다.
3. 특정 방향이 비어 있는 경우
푸리에 급수의 조합으로 인해 특정 방향에서만 \( r(\theta) = 0 \)이 되어 점이 사라지거나 반대 방향에 나타나는 현상도 있습니다. 예를 들어:
- 함수에 홀수 차수 성분이 없고 짝수 차수만 포함된 경우에는 주파수가 대칭적으로 나타나기 때문에 원점 중심의 특정 축에 대해 좌우 대칭 구조가 만들어집니다.
- 또는 \( f(\theta) = \sin(\theta) + \sin(3\theta) \)와 같이 위상 차이가 있는 주파수 성분이 결합될 경우, 일부 방향에서는 두 파동이 상쇄되어 \( r(\theta) \)가 0이 됩니다. 따라서 해당 방향으로는 점이 그려지지 않게 됩니다.
4. 위상 및 주파수 성분의 역할
푸리에 급수에서 주파수와 위상(offset)은 극좌표에서 그래프의 루프 패턴과 방향성에 중요한 영향을 미칩니다:
- 주파수 성분은 주로 루프의 개수를 결정합니다. \( r(\theta) = \cos(n\theta) \) 또는 \( r(\theta) = \sin(n\theta) \)에서 \( n \)차 주파수 성분은 한 주기( \( 0 \leq \theta < 2\pi \) ) 내에 총 \( 2n \)개의 루프를 형성합니다. 예를 들어:
- \( r(\theta) = \cos(3\theta) \)는 한 주기 내에 6개의 루프를 만듭니다.
- \( r(\theta) = \cos(4\theta) \)는 한 주기 내에 8개의 루프를 만듭니다.
이러한 현상은 극좌표에서 \( r(\theta) \)가 양수일 때는 그 방향으로, 음수일 때는 그 방향의 반대 방향으로 그려지기 때문입니다. 결과적으로 \( n \)차 주파수는 한 주기 내에 \( 2n \)개의 루프를 만들어냅니다.- 위상(offset)은 그래프의 회전 및 이동을 담당합니다. \( r(\theta) = \cos(n\theta + \phi) \)에서 위상 \(\phi\)는 그래프를 전체적으로 \(\phi\)만큼 회전시키는 효과를 줍니다. 이로 인해 특정 방향으로 루프의 위치가 이동하며, 위상 각에 따라 극좌표에서의 대칭 패턴이나 방향성이 달라질 수 있습니다.
따라서, 푸리에 급수에서 각 주파수 성분과 위상은 극좌표에서 그래프의 루프의 개수와 방향성을 결정하는 데 중요한 요소입니다.
-
-
-
-
푸리에 변환이 뭐냐면... 그려서 보여드리겠습니다. - 3Blue1Brown 한국어
-
-
-
-
세상을 바꾼 알고리즘 (FFT) - Veritasium 한국어 - 베리타시움
-
-
-
-
푸리에 급수와 푸리에 변환의 관계 - 각각의 역할과 차이
1. 푸리에 급수 (Fourier Series)
푸리에 급수는 주기적인 함수를 특정 주파수 성분(기저 함수)의 합으로 분해하는 방법입니다. 예를 들어, 전기 신호나 사인파처럼 일정한 주기를 가진 파형을 분석할 때 사용됩니다. 푸리에 급수는 다음과 같은 수식 형태로 표현됩니다.\[
f(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left(a_n \cos(n \omega t) + b_n \sin(n \omega t)\right)
\]여기서, 각 주파수 성분의 크기를 나타내는 \(a_n\)과 \(b_n\)이 주기 함수 \(f(t)\)를 주파수 성분으로 분해하는 역할을 합니다. 따라서, 푸리에 급수는 주기 함수를 이산적인 주파수 성분(기본 주파수의 정수 배)으로 나타내는 방법입니다.
2. 푸리에 변환 (Fourier Transform)
푸리에 변환은 비주기적인 함수나 신호를 주파수 성분으로 변환하는 방법입니다. 비주기적인 신호는 모든 주파수 성분을 포함할 수 있기 때문에, 푸리에 변환을 사용하여 연속적인 주파수 스펙트럼으로 표현됩니다. 푸리에 변환은 다음과 같은 적분 형태로 표현됩니다.\[
F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i \omega t} \, dt
\]여기서 \(F(\omega)\)는 \(f(t)\)의 주파수 스펙트럼을 나타내며, 주기 함수가 아닌 신호도 연속적인 주파수 성분의 합으로 나타낼 수 있게 합니다.
3. 푸리에 급수와 푸리에 변환의 관계
푸리에 급수는 주기적인 신호에 대해서만 사용할 수 있는 반면, 푸리에 변환은 주기적이든 비주기적이든 모든 신호에 적용할 수 있습니다. 사실, 푸리에 급수는 푸리에 변환의 특수한 경우로 볼 수 있습니다.
푸리에 급수에서 주기 \(T\)가 매우 길어져서 \(T \to \infty\)가 되면, 신호의 주기가 사실상 무한해지면서 비주기 신호로 다룰 수 있게 됩니다. 이 경우 푸리에 급수의 개념이 푸리에 변환으로 확장됩니다. 즉, 푸리에 급수는 푸리에 변환의 "이산적인 주파수 성분"에 해당하고, 푸리에 변환은 주파수가 연속적인 경우에 해당한다고 할 수 있습니다.요약:
- 푸리에 급수는 주기 함수의 경우에만 적용하며 이산적인 주파수 성분으로 분해합니다.
- 푸리에 변환은 비주기 함수를 포함한 모든 함수에 적용 가능하며 연속적인 주파수 스펙트럼을 제공합니다.
- 푸리에 급수는 푸리에 변환의 특수한 형태로, 주기가 무한대에 가까워지면 푸리에 급수는 푸리에 변환으로 일반화됩니다.
-
CAS 계산기에서 푸리에 변환 하한값 설정에 대한 궁금증 // Gemini 1.5 Flash
푸리에 변환을 CAS 계산기로 수행할 때, 하한값을 －∞가 아니라 0으로 설정해야만 답이 나오는 경우가 많은데, 그 이유는?
왜 하한값을 0으로 설정해야 할까요?
함수의 정의역:
신호의 특성:
계산기의 구현 방식:
결론
CAS 계산기에서 푸리에 변환을 수행할 때 하한값을 0으로 설정하는 것은 실제 신호의 특성과 계산기의 구현 방식을 고려한 결과입니다. 물론, 문제에 따라 하한값을 다른 값으로 설정해야 할 수도 있습니다. 하지만 일반적으로는 하한값을 0으로 설정하는 것이 가장 안전하고 효과적인 방법입니다.