[fx-570ES] STAT 통계 - 편차제곱의 합. SSX 또는 SSY

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[fx-570ES] STAT 통계 - 편차제곱의 합. SSX 또는 SSY

- 세상의모든계산기
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- 2024.09.19 - 09:50 2024.09.18 - 20:37 83 1

편차제곱의 합은 통계학에서 데이터의 분산과 표준편차를 계산할 때 중요한 개념입니다. 이를 이해하기 위해 먼저 편차를 정의해야 합니다.

1. 편차 (Deviation):

편차는 각 데이터 값이 평균에서 얼마나 떨어져 있는지를 나타내는 값입니다. 수식으로는 다음과 같습니다.

\[
\text{편차} = x_i - \mu
\]

여기서:
- $ x_i $는 각 데이터 값
- $ \mu $는 데이터 값들의 평균입니다.

2. 편차제곱 (Squared Deviation):

편차는 양수 또는 음수일 수 있기 때문에, 이 값들을 제곱하여 편차제곱을 구합니다. 이는 음수와 양수를 구분하지 않고 편차의 크기만을 평가할 수 있게 합니다.

\[
\text{편차제곱} = (x_i - \mu)^2
\]

3. 편차제곱의 합 (Sum of Squared Deviations):

편차제곱을 모든 데이터에 대해 구한 후, 이들을 모두 더한 값이 편차제곱의 합입니다. 이는 데이터가 평균으로부터 얼마나 퍼져 있는지를 나타내는 중요한 값입니다.

\[
\text{편차제곱의 합} = \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2
\]

이 값은 분산(Variance) 및 표준편차(Standard Deviation)를 구하는 데 사용됩니다.

- 분산은 편차제곱의 합을 데이터 개수로 나눈 값입니다.
- 표준편차는 분산의 제곱근입니다.

- 약어 표시

SSX: 독립 변수 XXX에 대한 편차제곱의 합 (Sum of Squares for XXX).
SST: 총 편차제곱의 합 (Total Sum of Squares).
SSR: 회귀의 편차제곱의 합 (Sum of Squares for Regression).
SSE: 잔차의 편차제곱의 합 (Sum of Squares for Error).

4. SSX와 기본 통계 변수들 간의 관계

1. SSX와 평균:

- SSX는 변수 X의 각 데이터 값이 평균 $ \mu \ $ 에서 얼마나 떨어져 있는지를 제곱한 값의 합입니다. 즉, 편차를 제곱하고 모두 더한 것이 SSX입니다.

\[
SSX = \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2
\]
여기서 $x_i$는 각 데이터 값, $\bar{x}$는 데이터의 평균입니다.

2. SSX와 분산:

- 분산(Variance)은 SSX를 데이터 개수 $n$로 나눈 값입니다.

\[
\text{분산} (\sigma^2) = \frac{SSX}{n}
\]

분산은 데이터 값들이 평균에서 얼마나 퍼져 있는지를 나타내는 지표로, SSX를 표본 크기 $n$으로 나누어 계산합니다.

만약 표본 분산(sample variance)을 구하려면 $n$ 대신 $n - 1$을 사용합니다.

\[
\text{표본 분산} (s^2) = \frac{SSX}{n - 1}
\]

3. SSX와 표준편차:

- 표준편차(Standard Deviation)는 분산의 제곱근입니다. 따라서, SSX를 이용해 분산을 구한 후, 표준편차를 구할 수 있습니다.

\[
\text{표준편차} (\sigma) = \sqrt{\frac{SSX}{n}}
\]
표본 표준편차(sample standard deviation)의 경우도 마찬가지로 표본 분산의 제곱근을 구합니다.

\[
\text{표본 표준편차} (s) = \sqrt{\frac{SSX}{n - 1}}
\]

요약

SSX는 기본 통계 변수들과 다음과 같은 관계를 가집니다:
- SSX는 평균에서 각 데이터 값들의 편차제곱을 모두 더한 값입니다.
- 분산은 SSX를 데이터의 개수로 나눈 값이며, 데이터 값들의 변동성을 나타냅니다.
- 표준편차는 SSX를 기반으로 구한 분산의 제곱근으로, 데이터가 평균에서 얼마나 퍼져 있는지 보여줍니다.

예시
- 데이터: $ [2, 4, 6, 8] $
- 평균: $ \bar{x} = 5 $
- SSX:
  \[
  SSX = (2-5)^2 + (4-5)^2 + (6-5)^2 + (8-5)^2 = 9 + 1 + 1 + 9 = 20
  \]
- 분산: $ \sigma^2 = \frac{SSX}{n} = \frac{20}{4} = 5 $
- 표준편차: $ \sigma = \sqrt{5} \approx 2.236 $

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