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한 때 인터넷을 떠들석 했던 바로 그 계산식!
지금도 가끔 사람들을 아리송하게 만드는 그 계산식!
48÷2(9+3) = ?
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2파 |
288파 |
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TI |
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 └TI-89┘  └TI-30XIIS┘
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CASIO |
 └fx-9860G┘
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HP |
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 └HP Prime (HOME 모드)┘
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SHARP |
 └EL-509W┘ |
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기타 |
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 └네이버 계산기┘
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계산기는 거들 뿐
혹은
계산기를 거들 뿐
(12라는 값을 A에 저장한다는 뜻)
공학용 계산기에서 위 입력 순서에 따라 계산하면 결과가 어떻게 나올까요?
수학적인 관점에서는 당연히 (2A)를 한덩어리로 묶어서 처리하므로 2가 나와야 하지만, 공학용 계산기에서는 2가 나오기도 하고, 288이 나오기도 합니다. 처음에는 매우 당황스럽게 느껴지지만, 그렇게 그렇게 계속 쓰다보면 익숙해집니다.
[fx-570 ES]
위 상태에서 【=】 누르면 자동으로 괄호가 추가되면서 계산됩니다.
[fx-570 MS]
위 상태에서 【=】 누르면 괄호가 쳐지진 않지만, 괄호가 있는 것과 같이 계산됩니다.
[TI-nspire]
위 상태에서 【enter】를 누르면 /2는 ÷2 로 들어가고, 기호가 생략된 a는 (앞의 수식)×a로 들어갑니다.
출처 - 뉴욕 시립대 교제 http://www.purplemath.com/modules/orderops2.htm (PDF 파일 5페이지)
Math Review for Algebra and Precalculus
Stanley Ocken Department of Mathematics The City College of CUNY
Copyright © January 2007
링크를 타고 가 보니... (예전에도 있었는지 모르겠는데)
페이지 말미에 이에 대한 설명이 나와 있습니다.
3줄 요약하면
1. 수학자 사이의 일반적!인 합의는 "곱하기 기호(×)를 생략한 곱은 (다른작업?)보다 우선순위가 있다"는 것
2. 그래서 내 답은 5 이다. (본문에 적용하면 48÷2(9+3) = 48÷24 = 2)
3. 메일 보내지 마라. 최종 결론은 없으니까.
Sideways Formatting and Multiplication-by-Juxtaposition
This next example displays an issue that almost never arises but, when it does, there seems to be no end to the arguing. (It's become annoying popular to post these to Facebook.)
Simplify 16 ÷ 2[8 − 3(4 − 2)] + 1.
I simplify in the usual way:
16 ÷ 2[8 − 3(4 − 2)] + 1
16 ÷ 2[8 − 3(2)] + 1
16 ÷ 2[8 − 6] + 1
16 ÷ 2[2] + 1 (**)
16 ÷ 4 + 1
4 + 1
5
The confusing part in the above calculation is how "16 divided by 2[2] + 1" (in the line marked with the double-star) becomes "16 divided by 4 + 1", instead of "8 times by 2 + 1".
That's because, even though multiplication and division are at the same level (so the left-to-right rule should apply), parentheses seem somehow to outrank division, so the first 2 in the starred line is often regarded as going with the [2] that follows it, rather than with the "16 divided by" that precedes it. That is, the multiplication that is indicated by placement against parentheses (or brackets, etc) is often regarded (by science-y folks) as being "stronger" somehow than "regular" multiplication which is indicated by a symbol of some sort, such as "×".
Typesetting the entire problem in a graphing calculator verifies the existence of this hierarchy, at least in some software:
calculator screen-shot: 16 / 2(8) = 1, but 16 / 2 * 8 = 64
Note that different software packages will process this expression differently; even different models of Texas Instruments graphing calculators will process this expression differently. The general consensus among math people is that "multiplication by juxtaposition" (that is, multiplying by just putting things next to each other, rather than using the "×" sign) indicates that the juxtaposed values must be multiplied together before processing other operations. But not all software is programmed this way, and sometimes teachers view things differently. If in doubt, ask! And, when typing things out sideways, be very careful of your parentheses, and make your meaning clear, so as to avoid precisely this ambiguity.
(Please do not send me an e-mail either asking for or else proffering a definitive verdict on this issue. As far as I know, there is no such final verdict. Telling me to do things your way will not solve the issue!) (For an example of the sort of e-mails I get on this, continue to the next page, which also contains more fractional-form examples.)
우리가 수학을 배우면서 가장 먼저 맞닥드리는 약속과 그로 인한 오해가 바로 사칙연산의 순서입니다.
우리는 학교에서 "곱하기&나누기"는 "더하기&빼기"보다 먼저한다는 약속이 있기 때문에 무조건 순서가 그렇다고 배웠습니다. 과연 그럴까요?
혹시 사칙연산은 원래 우선순위가 없어서 앞에서부터 차례대로 계산하는게 맞고, 먼저 계산해야 할 것은 괄호와 같은 기호를 이용해서 우선순위를 지정해서 "2+(2×2)" 처럼 써야하는 것은 아닐까요? 그러다가 어느날부터인가 "곱하기나 나누기에 붙은 괄호만 생략하고 써보는 건 어때?" 하고 약속이 생긴 것은 아니었을까요?
우리가 약속했던 것은 과연 무엇이었을까요?
참고 : http://navercast.naver.com/contents.nhn?rid=22&contents_id=929
위 링크에 편집자주에 의한 내용보충이 2011년 4월 11일에 있었으니,
최초 논란은 그 이전이겠습니다. 언제 처음 문제가 제기되었던 것일까요? 그것도 궁금하네요.
나눗셈 기호로 / 대신 ÷ 가 쓰였다면 결과가 달랐을까요?
아닙니다. 나눗셈 기호 / 는 ÷ 와 동일한 기호입니다. 잘 쓰이지는 않지만 : 로 쓰였다고 해도 같은 결과입니다.
1/2a = 1÷2a = 1:2a
http://news.dongascience.com/PHP/NewsView.php?kisaid=20110412200002234388&classcode=011403
https://namu.wiki/w/48%C3%B72(9%2B3)
http://navercast.naver.com/contents.nhn?rid=22&contents_id=929
2019년 12월
https://www.todayhumor.co.kr/board/view.php?table=humorbest&no=1615836
이 곳에서 다시 혜성처럼 등장하였었군요.
8÷2(2+2)
라는 가면을 쓰고...
세상의 모든 계산기
부분곱 Π 대신 nPr
[공학용 계산기] 각도 설정 : Angle (Degree / Radian / Gradian)
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0. 두가지 물음
이 문제는 두가지 물음이 결합되어 있습니다.
첫번째 "주어진 수학식을
어떻게 해석할 것인가?" 라는 수학적인 물음
두번째 "수학적으로는 잘못 표기된 수학식을 계산기에 그대로 입력했을 때
계산기는 어떻게 동작할 것인가?" 라는 공학적인 물음
1. 수학적 물음 : 수식의 표기
본문의 수식은 "수학적으로 옳바르지 않은" = "정의되지 않은" 표기입니다.
그 이유는 수식에서 곱하기를 생략(Implied times sign)할 수 있는 경우는 "오해의 소지가 없는 경우"로 한정되기 때문입니다(출처 : ISO 80000-2). 그리고 곱하기를 생략하는 이유는 곱하기의 생략하면 수식이 간단하게 표현되어서 사람들이 수식을 이해하기 더 쉬워지기 때문입니다.
즉, 곱하기 생략의 원칙은 수식 표기의 대원칙인 "이해하기 쉽게", "오해하지 않게" 적는 대원칙 아래 있는 개념이라고 볼 수 있습니다.
그런데 이미 사람들 사이에는 "48/2(9+3)" 수식은 "48/2×(9+3)"와 "48/(2×(9+3))" 중 어떤 것이 맞지?"라는 혼란(오해)가 생겼습니다. 곱하기와 괄호를 빼먹지 않고 모두 표시했더라면 오해가 없었을 것인데, 빼먹고 적음으로써 오해가 생겼으니 "곱하기를 생략할 수 없는 경우"라고 볼 수 있고 그래서 수학적으로 옳바르지 않은 식이 됩니다.
둘 중 어떤 것으로 해석하는 것이 맞느냐는 후순위로 생각할 문제입니다.
그렇다면 위에서 말한 "곱하기를 생략하더라도 오해의 소지가 없는 경우"에는 어떤 것이 해당될까요?
위의 두가지 경우가 가장 대표적인 오해의 소지가 없는 경우에 해당합니다. 그래서 많은 사람들은 "문자×숫자", "문자×문자"에서만 곱하기 생략이 가능하다고도 말하기도 합니다. 하지만 그것은 '원칙에 따른 결과'를 분석한 것일 뿐이지, 원칙 자체로 볼 수는 없습니다.
혹자는 '숫자×여는괄호'에서 곱하기가 생략되는 것은 괄호를 문자로 보기 때문에, 즉 ⓐ에 해당하기 때문에 가능하다고 설명하기도 하는데, 그것은 사실과 다르다고 생각합니다. ⓐ와 ⓑ에서 말하는 "문자"란 "숫자와 곱할 수 있는 대상(operand)을 치환한 것"으로서 한정된 문자 집합(알파벳 a~z, 혹은 라틴어 α~ω 등)으로 보는 것이 합당합니다. operator 까지 '문자'로 확대해석할 이유는 없다는 생각이 듭니다.
만약 곱하기 생략이 가능했다면 괄호를 문자로 보기 때문이 아니고 원칙에 따라 "오해의 소지가 없는 경우"에 해당하기에 생략한 것 뿐입니다. 여기서 "오해의 소지가 없는 경우"를 확장해서 생각해 볼 수 있습니다.
루트기호 등도 "문자"에 해당해서 생략한 것일까요? ⓐ에 해당하지는 않지만 오해의 소지가 없기 때문에 생략한 것이라고 봐야 할까요?
문제의 식으로 넘어와서 생각해 보겠습니다.
'2×(9+3)' 대신 '2(9+3)'을 쓸 수 있다고 하면, '2(9+3)' 대신 '2(12)' 로도 쓸 수 있어야 합니다. 이 표시가 다른 사람들에게 오해없이 '2×12'로 읽힐 수 있다면 이것은 맞는 표현입니다. 그런데 만약에 답이 '24'인 수학 주관식 시험문제에, 수험생이 '2(12)'라고만 답안지를 작성하면 채점자가 맞다고 할까요? 틀렸다고 할까요?
만약 맞다고 해야한다면, 수학식 어디에서나 숫자간의 곱하기 대신 이런 표현을 써도 무방한 것일까요?
2. 공학적인 물음 : 계산기의 해석
수학적으로 문제가 없는 표기를 계산기로 입력하면 계산기는 당연히 (모든 사람들에게 공유되는) 수학적 약속대로 해석하여 결론을 보여주어야 합니다. 그래야 모든 사람들이 혼란 없이 계산기를 사용할 수 있습니다.
그러면 문제처럼 표기상 오류인 식을 입력받았을 때, "계산기는 계산을 해야 할까요? 말아야 할까요?"
선택 ⓐ 그 문구를 에러로 처리
ERROR
선택 ⓑ 곱하기가 생략된 경우로 처리 1
생략된 곱하기만 생략된 부위에 삽입 
수정된 식 계산?
48÷2×(9+3) = 288
선택 ⓒ 곱하기가 생략된 경우로 처리 2
일반 수학식처럼 해석해서 괄호까지 삽입하고 계산
48÷(2×(9+3)) = 2
※ 계산기 세계에서 ⓑ 와 ⓒ의 차이는 숫자(숫자)에서 뿐만 아니라, 문자(변수)를 이용한 계산식에서도 발생합니다.
아래 댓글 참조
위 문제에서는 세가지 중에 하나를 선택해야만 하고, 어떤 선택을 할 것인지 결정하는 것은 계산기 프로그램을 만드는 사람의 몫입니다.
약속된 바가 없기 때문에 어떻게 약속을 하건 상관이 없습니다. 어떻게 하는 것이 더 효율적일지, 합리적일지를 고려하여 일관성있게 처리할수만 만들면 되는 것이고, 사용자는 그러한 해석에 따라 계산기가 작동함을 인지하고 그렇게 잘 사용을 하면 그만인 것입니다.
* 혼란을 줄이기 위해 제작자들이 모여 합의를 이끌어 내는 것이 더 바람직하다고 볼 수 있겠습니다.
* 한 회사 내에서도 모델별로 처리방식이 다른데, 하물며 회사들간의 합의를 바란다는 건...