떡밥 계산식 48÷2(9+3)=? 6÷2(1+2)=? 계산기에서의 결과는?
-
- 2024.09.28 - 12:23 2015.01.15 - 11:18 5014 23
한 때 인터넷을 떠들석 했던 바로 그 계산식!
지금도 가끔 사람들을 아리송하게 만드는 그 계산식!
48÷2(9+3) = ?
|
|
2파 |
288파 |
|
TI |
|
 └TI-89┘  └TI-30XIIS┘
|
|
CASIO |
 └fx-9860G┘
|
|
|
HP |
|
 └HP Prime (HOME 모드)┘
|
|
SHARP |
 └EL-509W┘ |
|
|
기타 |
|
 └네이버 계산기┘
|
-
25
댓글23
-
세상의모든계산기
0. 두가지 물음
이 문제는 두가지 물음이 결합되어 있습니다.
첫번째 "주어진 수학식을
어떻게 해석할 것인가?" 라는 수학적인 물음두번째 "수학적으로는 잘못 표기된 수학식을 계산기에 그대로 입력했을 때
계산기는 어떻게 동작할 것인가?" 라는 공학적인 물음1. 수학적 물음 : 수식의 표기
본문의 수식은 "수학적으로 옳바르지 않은" = "정의되지 않은" 표기입니다.
그 이유는 수식에서 곱하기를 생략(Implied times sign)할 수 있는 경우는 "오해의 소지가 없는 경우"로 한정되기 때문입니다("Either may be ommited if no misunderstanding is possible." ISO 80000-2(2009년판)). 그리고 곱하기를 생략하는 이유는 곱하기의 생략하면 수식이 간단하게 표현되어서 사람들이 수식을 이해하기 더 쉬워지기 때문입니다.
즉, 곱하기 생략의 원칙은 수식 표기의 대원칙인 "이해하기 쉽게", "오해하지 않게" 적는 대원칙 아래 있는 개념이라고 볼 수 있습니다.
그런데 이미 사람들 사이에는 "48/2(9+3)" 수식은 "48/2×(9+3)"와 "48/(2×(9+3))" 중 어떤 것이 맞지?"라는 혼란(오해)가 생겼습니다. 곱하기와 괄호를 빼먹지 않고 모두 표시했더라면 오해가 없었을 것인데, 빼먹고 적음으로써 오해가 생겼으니 "곱하기를 생략할 수 없는 경우"라고 볼 수 있고 그래서 수학적으로 옳바르지 않은 식이 됩니다.
둘 중 어떤 것으로 해석하는 것이 맞느냐는 후순위로 생각할 문제입니다.
그렇다면 위에서 말한 "곱하기를 생략하더라도 오해의 소지가 없는 경우"에는 어떤 것이 해당될까요?
- 숫자×문자 --- ⓐ
- 문자×문자 --- ⓑ
위의 두가지 경우가 가장 대표적인 오해의 소지가 없는 경우에 해당합니다. 그래서 많은 사람들은 "문자×숫자", "문자×문자"에서만 곱하기 생략이 가능하다고도 말하기도 합니다. 하지만 그것은 '원칙에 따른 결과'를 분석한 것일 뿐이지, 원칙 자체로 볼 수는 없습니다.
혹자는 '숫자×여는괄호'에서 곱하기가 생략되는 것은 괄호를 문자로 보기 때문에, 즉 ⓐ에 해당하기 때문에 가능하다고 설명하기도 하는데, 그것은 사실과 다르다고 생각합니다. ⓐ와 ⓑ에서 말하는 "문자"란 "숫자와 곱할 수 있는 대상(operand)을 치환한 것"으로서 한정된 문자 집합(알파벳 a~z, 혹은 라틴어 α~ω 등)으로 보는 것이 합당합니다. operator 까지 '문자'로 확대해석할 이유는 없다는 생각이 듭니다.
만약 곱하기 생략이 가능했다면 괄호를 문자로 보기 때문이 아니고 원칙에 따라 "오해의 소지가 없는 경우"에 해당하기에 생략한 것 뿐입니다. 여기서 "오해의 소지가 없는 경우"를 확장해서 생각해 볼 수 있습니다.
- 숫자×( 여는괄호 --- ⓒ
- 숫자×√(숫자) --- ⓓ
- 숫자×∫ --- ⓔ
- 숫자×∑ --- ⓕ
루트기호 등도 "문자"에 해당해서 생략한 것일까요? ⓐ에 해당하지는 않지만 오해의 소지가 없기 때문에 생략한 것이라고 봐야 할까요?
문제의 식으로 넘어와서 생각해 보겠습니다.
'2×(9+3)' 대신 '2(9+3)'을 쓸 수 있다고 하면, '2(9+3)' 대신 '2(12)' 로도 쓸 수 있어야 합니다. 이 표시가 다른 사람들에게 오해없이 '2×12'로 읽힐 수 있다면 이것은 맞는 표현입니다. 그런데 만약에 답이 '24'인 수학 주관식 시험문제에, 수험생이 '2(12)'라고만 답안지를 작성하면 채점자가 맞다고 할까요? 틀렸다고 할까요?
만약 맞다고 해야한다면, 수학식 어디에서나 숫자간의 곱하기 대신 이런 표현을 써도 무방한 것일까요?
2. 공학적인 물음 : 계산기의 해석
수학적으로 문제가 없는 표기를 계산기로 입력하면 계산기는 당연히 (모든 사람들에게 공유되는) 수학적 약속대로 해석하여 결론을 보여주어야 합니다. 그래야 모든 사람들이 혼란 없이 계산기를 사용할 수 있습니다.
그러면 문제처럼 표기상 오류인 식을 입력받았을 때, "계산기는 계산을 해야 할까요? 말아야 할까요?"
선택 ⓐ 그 문구를 에러로 처리
ERROR선택 ⓑ 곱하기가 생략된 경우로 처리 1
생략된 곱하기만 생략된 부위에 삽입 수정된 식 계산?
48÷2×(9+3) = 288선택 ⓒ 곱하기가 생략된 경우로 처리 2
일반 수학식처럼 해석해서 괄호까지 삽입하고 계산
48÷(2×(9+3)) = 2※ 계산기 세계에서 ⓑ 와 ⓒ의 차이는 숫자(숫자)에서 뿐만 아니라, 문자(변수)를 이용한 계산식에서도 발생합니다.
아래 댓글 참조위 문제에서는 세가지 중에 하나를 선택해야만 하고, 어떤 선택을 할 것인지 결정하는 것은 계산기 프로그램을 만드는 사람의 몫입니다.
약속된 바가 없기 때문에 어떻게 약속을 하건 상관이 없습니다. 어떻게 하는 것이 더 효율적일지, 합리적일지를 고려하여 일관성있게 처리할수만 만들면 되는 것이고, 사용자는 그러한 해석에 따라 계산기가 작동함을 인지하고 그렇게 잘 사용을 하면 그만인 것입니다.
* 혼란을 줄이기 위해 제작자들이 모여 합의를 이끌어 내는 것이 더 바람직하다고 볼 수 있겠습니다.
* 한 회사 내에서도 모델별로 처리방식이 다른데, 하물며 회사들간의 합의를 바란다는 건... -
세상의모든계산기
['숫자*문자'의 곱하기 생략 (feat. 계산기)]
(12라는 값을 A에 저장한다는 뜻)
공학용 계산기에서 위 입력 순서에 따라 계산하면 결과가 어떻게 나올까요?
수학적인 관점에서는 당연히 (2A)를 한덩어리로 묶어서 처리하므로 2가 나와야 하지만, 공학용 계산기에서는 2가 나오기도 하고, 288이 나오기도 합니다. 처음에는 매우 당황스럽게 느껴지지만, 그렇게 그렇게 계속 쓰다보면 익숙해집니다.
[fx-570 ES]
위 상태에서 【=】 누르면 자동으로 괄호가 추가되면서 계산됩니다.
[fx-570 MS]
위 상태에서 【=】 누르면 괄호가 쳐지진 않지만, 괄호가 있는 것과 같이 계산됩니다.
[TI-nspire]
위 상태에서 【enter】를 누르면 /2는 ÷2 로 들어가고, 기호가 생략된 a는 (앞의 수식)×a로 들어갑니다.
-
세상의모든계산기
[반론] 숫자만 들어있는 괄호에서도 곱하기를 생략할 수 있다는 주장도 있습니다.
출처 - 뉴욕 시립대 교제 http://www.purplemath.com/modules/orderops2.htm (PDF 파일 5페이지)Math Review for Algebra and Precalculus
Stanley Ocken Department of Mathematics The City College of CUNY
Copyright © January 2007 -
세상의모든계산기
링크를 타고 가 보니... (예전에도 있었는지 모르겠는데)
페이지 말미에 이에 대한 설명이 나와 있습니다.3줄 요약하면
1. 수학자 사이의 일반적!인 합의는 "곱하기 기호(×)를 생략한 곱은 (다른작업?)보다 우선순위가 있다"는 것
2. 그래서 내 답은 5 이다. (본문에 적용하면 48÷2(9+3) = 48÷24 = 2)
3. 메일 보내지 마라. 최종 결론은 없으니까.
Sideways Formatting and Multiplication-by-Juxtaposition
This next example displays an issue that almost never arises but, when it does, there seems to be no end to the arguing. (It's become annoying popular to post these to Facebook.)
Simplify 16 ÷ 2[8 − 3(4 − 2)] + 1.
I simplify in the usual way:
16 ÷ 2[8 − 3(4 − 2)] + 1
16 ÷ 2[8 − 3(2)] + 1
16 ÷ 2[8 − 6] + 1
16 ÷ 2[2] + 1 (**)
16 ÷ 4 + 1
4 + 1
5
The confusing part in the above calculation is how "16 divided by 2[2] + 1" (in the line marked with the double-star) becomes "16 divided by 4 + 1", instead of "8 times by 2 + 1".
That's because, even though multiplication and division are at the same level (so the left-to-right rule should apply), parentheses seem somehow to outrank division, so the first 2 in the starred line is often regarded as going with the [2] that follows it, rather than with the "16 divided by" that precedes it. That is, the multiplication that is indicated by placement against parentheses (or brackets, etc) is often regarded (by science-y folks) as being "stronger" somehow than "regular" multiplication which is indicated by a symbol of some sort, such as "×".
Typesetting the entire problem in a graphing calculator verifies the existence of this hierarchy, at least in some software:
calculator screen-shot: 16 / 2(8) = 1, but 16 / 2 * 8 = 64
Note that different software packages will process this expression differently; even different models of Texas Instruments graphing calculators will process this expression differently. The general consensus among math people is that "multiplication by juxtaposition" (that is, multiplying by just putting things next to each other, rather than using the "×" sign) indicates that the juxtaposed values must be multiplied together before processing other operations. But not all software is programmed this way, and sometimes teachers view things differently. If in doubt, ask! And, when typing things out sideways, be very careful of your parentheses, and make your meaning clear, so as to avoid precisely this ambiguity.
(Please do not send me an e-mail either asking for or else proffering a definitive verdict on this issue. As far as I know, there is no such final verdict. Telling me to do things your way will not solve the issue!) (For an example of the sort of e-mails I get on this, continue to the next page, which also contains more fractional-form examples.) -
세상의모든계산기
우리가 수학을 배우면서 가장 먼저 맞닥드리는 약속과 그로 인한 오해가 바로 사칙연산의 순서입니다.
우리는 학교에서 "곱하기&나누기"는 "더하기&빼기"보다 먼저한다는 약속이 있기 때문에 무조건 순서가 그렇다고 배웠습니다. 과연 그럴까요?혹시 사칙연산은 원래 우선순위가 없어서 앞에서부터 차례대로 계산하는게 맞고, 먼저 계산해야 할 것은 괄호와 같은 기호를 이용해서 우선순위를 지정해서 "2+(2×2)" 처럼 써야하는 것은 아닐까요? 그러다가 어느날부터인가 "곱하기나 나누기에 붙은 괄호만 생략하고 써보는 건 어때?" 하고 약속이 생긴 것은 아니었을까요?
우리가 약속했던 것은 과연 무엇이었을까요?
참고 : http://navercast.naver.com/contents.nhn?rid=22&contents_id=929
위 링크에 편집자주에 의한 내용보충이 2011년 4월 11일에 있었으니,
최초 논란은 그 이전이겠습니다. 언제 처음 문제가 제기되었던 것일까요? 그것도 궁금하네요. -
세상의모든계산기
ISO 80000 발췌
ㄴ ISO 80000-2:2009(EN), 9 Operation
-
세상의모든계산기
ChatGTP-4o mini
이 문제는 수학에서 연산 순서(PEMDAS/BODMAS 규칙)에 따라 해결해야 합니다. 여기서 PEMDAS는 괄호(Parentheses), 지수(Exponents), 곱셈(Multiplication), 나눗셈(Division), 덧셈(Addition), 뺄셈(Subtraction)을 의미합니다. BODMAS는 괄호(Brackets), 지수(Orders), 나눗셈(Division), 곱셈(Multiplication), 덧셈(Addition), 뺄셈(Subtraction)을 의미합니다.
주어진 식은 다음과 같습니다:
\[ 48 \div 2(9 + 3) \]계산 순서를 따르면:
1. 괄호를 먼저 해결합니다:
\[ 9 + 3 = 12 \]식은 이제:
\[ 48 \div 2(12) \]2. 이제 식에서 나눗셈과 곱셈을 해결합니다. 곱셈과 나눗셈은 왼쪽에서 오른쪽으로 계산합니다.
식을 보면, 나눗셈과 곱셈이 연속해서 나타나므로, 왼쪽에서 오른쪽으로 계산해야 합니다. 먼저 나눗셈을 수행합니다:
\[ 48 \div 2 = 24 \]3. 이제 남은 식은:
\[ 24 \times 12 \]4. 마지막으로 곱셈을 계산합니다:
\[ 24 \times 12 = 288 \]따라서, 주어진 문제의 답은 288입니다.
-
세상의모든계산기2024.07.27 - 17:23 #45164
"생략된 곱하기는 다른 곱하기나 나누기에 비해 우선 순위를 갖기 때문에, 그 부분에는 괄호가 있는 것으로 봐야 한다"는 반론도 있는데 이에 대해서는 어떻게 생각해?
"생략된 곱하기는 다른 곱하기나 나누기에 비해 우선 순위를 갖는다"는 주장은 수학적 표현을 명확히 하는데 도움이 될 수 있습니다. 그러나 일반적으로 수학에서 사용하는 연산 순서는 PEMDAS/BODMAS 규칙을 따릅니다. 이 규칙에 따르면, 곱셈과 나눗셈은 동일한 우선 순위를 가지며, 왼쪽에서 오른쪽으로 순서대로 계산됩니다.
문제를 다시 살펴보면:
\[ 48 \div 2(9 + 3) \]
여기서 2(12)는 사실 2 곱하기 12로 해석됩니다.
수학적인 문맥에서는 곱셈과 나눗셈이 연속적으로 나타날 때, 왼쪽에서 오른쪽으로 순서대로 처리하는 것이 일반적입니다.
따라서, 원칙적으로는 다음과 같은 순서로 계산합니다:
1. 괄호를 풀어서:
\[ 48 \div 2(12) \]2. 나눗셈을 먼저 계산합니다:
\[ 48 \div 2 = 24 \]3. 그 다음 곱셈을 합니다:
\[ 24 \times 12 = 288 \]반론에서 제기한 바와 같이 곱셈이 생략된 형태로 나타나는 경우, 괄호로 명확하게 묶어서 우선 순위를 설정할 수도 있지만, 표준적인 수학적 규칙에 따르면 나눗셈과 곱셈은 동일한 우선 순위를 가지며 왼쪽에서 오른쪽으로 계산됩니다.
따라서, 일반적으로 수학에서는 원칙적으로 왼쪽에서 오른쪽으로 계산하는 규칙에 따릅니다. 결과적으로 문제의 답은 여전히 288입니다.
-
세상의모든계산기
Claude 3.5 Sonnet
이 문제에 대해 단계별로 생각해 보겠습니다.
계산 순서:
- 괄호 안 계산: (9+3) = 12
- 곱셈과 나눗셈을 왼쪽에서 오른쪽으로 계산: 48 ÷ 2 = 24, 24 × 12 = 288
따라서 답은 288입니다.
근거:
- PEMDAS (Parentheses, Exponents, Multiplication and Division, Addition and Subtraction) 또는 BODMAS (Brackets, Orders, Division and Multiplication, Addition and Subtraction) 규칙에 따르면, 괄호 안의 연산을 먼저 수행합니다.
- 곱셈과 나눗셈은 같은 우선순위를 가지며, 왼쪽에서 오른쪽으로 계산합니다. 따라서 48 ÷ 2를 먼저 계산한 후, 그 결과에 12를 곱합니다.
- 2(9+3)에서 괄호 앞의 2는 곱셈을 의미하므로, 괄호를 먼저 계산한 후 곱셈을 수행합니다.
이 문제는 종종 혼란을 일으키는데, 그 이유는 일부 사람들이 2(9+3)를 하나의 항으로 취급하여 48 ÷ [2(9+3)]로 해석하기 때문입니다. 하지만 현대 수학 표기법에서는 이를 48 ÷ 2 × (9+3)로 해석하는 것이 일반적입니다.
이 해석에 대해 더 자세한 설명이 필요하시면 말씀해 주세요.
-
세상의모든계산기
"생략된 곱하기는 다른 곱하기나 나누기에 비해 우선 순위를 갖기 때문에, 그 부분에는 괄호가 있는 것으로 봐야 한다"는 반론도 있는데 이에 대해서는 어떻게 생각해?
이 반론에 대해 다음과 같이 생각해 볼 수 있습니다:
1. 역사적 맥락:
과거에는 이런 해석이 더 일반적이었습니다. 특히 고등학교 수학이나 대수학에서는 이런 방식으로 가르치는 경우가 있었습니다.
2. 직관적 해석:
많은 사람들이 2(9+3)를 하나의 단위로 보는 것이 더 자연스럽다고 느낍니다. 이는 우리가 일상적으로 수학을 사용하는 방식과 관련이 있습니다.
3. 현대 수학계의 입장:
하지만 현대 수학에서는 일반적으로 이런 해석을 권장하지 않습니다. 명시적으로 표현되지 않은 우선순위를 가정하는 것은 혼란을 야기할 수 있기 때문입니다.
4. 표기법의 모호성:
이런 논란은 수학적 표기법의 모호성을 잘 보여줍니다. 이는 명확한 표현의 중요성을 강조합니다.
5. 교육적 관점:
이런 해석은 학생들에게 혼란을 줄 수 있으며, 더 복잡한 수학적 표현을 다룰 때 문제가 될 수 있습니다.
6. 실용적 접근:
프로그래밍이나 과학적 계산에서는 이런 암묵적인 규칙을 따르지 않습니다. 명시적인 표현이 필요합니다.
결론적으로, 이런 해석은 역사적으로는 의미가 있었지만, 현대 수학에서는 권장되지 않습니다. 명확성을 위해 괄호를 사용하거나 곱셈 기호를 명시적으로 표시하는 것이 좋습니다. 예를 들어, 48 ÷ (2(9+3)) 또는 48 ÷ 2 × (9+3)로 표현하면 모호성을 피할 수 있습니다.
이 논란은 수학적 표기법의 중요성과 명확한 의사소통의 필요성을 잘 보여주는 사례입니다. -
세상의모든계산기
LLAMA 3
A nice math problem! 😊
To evaluate this expression, we need to follow the order of operations (PEMDAS):
1. Evaluate the expressions inside the parentheses:
* 9+3 = 12
2. Replace the inner expression with its value:
* 48 ÷ 2(12) = ?
3. Evaluate the division operation:
* 48 ÷ 24 = 2So, the final answer is:
2
My reasoning is based on the standard order of operations in mathematics, which are:
1. Parentheses: Evaluate expressions inside parentheses first.
2. Exponents (none in this case): If there were any exponents (like squaring or cubing), we would evaluate them next.
3. Multiplication and Division (from left to right): Evaluate divisions from left to right, just like we did in this problem.
4. Addition and Subtraction (from left to right): Finally, evaluate any additions or subtractions from left to right.By following these steps, we can ensure that mathematical expressions are evaluated consistently and accurately. 📝
-
세상의모든계산기2024.07.27 - 17:22 #45161
Gemini
48÷2(9+3) = ? 문제 풀이
문제: 48÷2(9+3) = ?
계산 순서 및 근거:
이 문제는 계산 순서를 명확히 하지 않아 답이 두 가지로 나올 수 있는 함정이 있는 문제입니다.
1. 괄호 -> 곱셈 -> 나눗셈 순서
- 괄호 안 계산: 9+3 = 12
- 곱셈: 2 * 12 = 24
- 나눗셈: 48 ÷ 24 = 2
따라서, 48÷2(9+3) = 2
2. 괄호 -> 나눗셈 -> 곱셈 순서
일반적인 계산기나 컴퓨터 프로그램은 괄호 다음에 왼쪽에서 오른쪽 순서로 계산하도록 설정되어 있습니다. 즉, 나눗셈을 먼저 하고 곱셈을 나중에 합니다.
- 괄호 안 계산: 9+3 = 12
- 나눗셈: 48 ÷ 2 = 24
- 곱셈: 24 * 12 = 288
따라서, 48÷2(9+3) = 288
결론:
위와 같이 두 가지 답이 나올 수 있는 이유는 수학적 표기법에서 곱셈 기호 생략 시 발생하는 모호함 때문입니다.
명확한 표현을 위한 방법:
- 괄호 추가: (48÷2) * (9+3) = 288
- 곱셈 기호 명시: 48 ÷ 2 × (9+3) = 288
따라서, 이 문제의 정확한 답을 알기 위해서는 문제를 출제한 사람의 의도나 사용하는 계산 도구의 설정을 확인해야 합니다.
일반적으로 수학에서는 괄호를 생략하는 것을 지양하고, 명확하게 표현하는 것이 중요합니다.
결론적으로, 이 문제는 수학적 표기의 중요성과 계산기 사용 시 주의해야 할 점을 보여주는 좋은 예시입니다.
궁금한 점이 있다면 언제든지 질문해주세요.
-
세상의모든계산기
ChatGPT-4o
이 문제는 수학의 계산 순서에 따라 답이 달라질 수 있는 예제입니다. 일반적으로 사용하는 연산 순서는 PEMDAS(괄호, 지수, 곱셈과 나눗셈, 덧셈과 뺄셈) 또는 BODMAS(괄호, 순서, 나눗셈과 곱셈, 덧셈과 뺄셈) 규칙을 따릅니다.
문제는:
\[ 48 \div 2(9 + 3) \]
다음과 같이 단계별로 계산합니다:
1. **괄호 먼저 계산**: \( 9 + 3 = 12 \)
\[ 48 \div 2(12) \]
2. 이제 이 식은 두 가지 해석이 가능합니다.
### 해석 1: \( 48 \div 2 \times 12 \)
먼저 나눗셈과 곱셈을 왼쪽에서 오른쪽으로 계산합니다.
\[ 48 \div 2 = 24 \]
그 다음:
\[ 24 \times 12 = 288 \]
### 해석 2: \( 48 \div (2 \times 12) \)
먼저 괄호 안의 곱셈을 계산합니다.
\[ 2 \times 12 = 24 \]
그 다음:
\[ 48 \div 24 = 2 \]
그러므로, 이 문제의 답은 해석 방법에 따라 달라집니다. 엄격히 말하면 수식의 애매함을 없애기 위해 괄호를 사용해 명확하게 표기하는 것이 좋습니다. 하지만 일반적인 관습에 따라 \( 48 \div 2 \times 12 \)로 해석하는 것이 더 일반적입니다.
따라서 답은:
\[ \boxed{288} \]
입니다.
-
세상의모든계산기
ab÷ab =? 의 계산에서 a와 b를 별개의 변수로 볼 때, a와 b 사이에는 곱하기가 생략된 것으로 이해되잖아? 그런데 일반적으로 이런 계산에서는 생략된 곱하기를 좀 더 강한 결합력(우선순위)가 있는 것으로 처리해서 (a*b)÷(a*b) 로 계산하는게 관행이란 말이지. 그런데 왜 똑같이 곱하기가 생략된 48÷2(12) 에서는 곱하기가 생략된 2(12) 부분을 한덩어리로 보지 않고, 앞의 나눗셈과 같은 우선순위로 처리하냐는 거야.
아, 이해했습니다. 질문의 핵심은 "ab÷ab"와 "48÷2(12)"에서 생략된 곱셈의 우선순위 차이에 대한 것입니다. 이 차이를 설명하기 위해서 두 가지 중요한 개념을 다뤄야 합니다: 수학적 관습과 수식의 명확성입니다.
### 1. **ab ÷ ab**
여기서 "ab"는 두 변수 "a"와 "b"의 곱으로 해석됩니다. 이는 수학적으로 한 덩어리로 취급됩니다. 따라서 다음과 같이 계산됩니다:
\[ ab ÷ ab = \frac{ab}{ab} = 1 \]
여기서, "a"와 "b"는 곱셈으로 연결된 하나의 덩어리로 보기 때문에 분자와 분모가 동일하게 취급되어 결과가 1이 됩니다.
### 2. **48 ÷ 2(12)**
여기서 문제는 연산 순서와 관련된 혼란에서 비롯됩니다. "2(12)"에서 곱셈이 생략되어 있지만, 수학적 관습에 따라 어떻게 해석해야 하는지 명확히 해야 합니다. 이 경우, 일반적인 해석은 다음과 같습니다:
\[ 48 ÷ 2(12) \]
PEMDAS/BODMAS 규칙에 따르면, 나눗셈과 곱셈은 같은 우선순위를 가지며 왼쪽에서 오른쪽으로 처리됩니다. 따라서 이 표현은 다음과 같이 해석됩니다:
\[ 48 ÷ 2 \times 12 \]
그러므로 먼저 나눗셈을 수행하고 그 다음 곱셈을 수행합니다.
\[ 48 ÷ 2 = 24 \]
\[ 24 \times 12 = 288 \]### 3. **차이점 설명**
#### a. **곱셈의 명확성**
- **ab**: 여기서 곱셈이 생략된 것은 변수 "a"와 "b" 사이에 곱셈이 있다는 것을 명확히 나타내며, 이는 단일 항으로 간주됩니다.
- **2(12)**: 여기서도 곱셈이 생략되었지만, 이는 일반적으로 "$2 \times 12$"로 해석됩니다. 문제는 "÷"와 "×" 연산이 함께 있을 때, 연산 순서에 대한 규칙에 따라 처리가 달라진다는 것입니다.#### b. **수학적 관습과 연산 순서**
- **ab ÷ ab**: 이는 분명히 $(a \times b) ÷ (a \times b)$로 해석되며, 이는 하나의 단일 항으로 처리됩니다.
- **48 ÷ 2(12)**: 여기서는 PEMDAS/BODMAS 규칙에 따라 나눗셈과 곱셈을 같은 우선순위로 처리하며, 왼쪽에서 오른쪽으로 계산합니다. 따라서 "$(2 \times 12)$"를 한 덩어리로 처리하지 않고, "48 ÷ 2"를 먼저 계산합니다.### 결론
"ab ÷ ab"의 경우, 변수 사이의 곱셈이 생략되어 있지만 이는 단일 항으로 인식됩니다. 반면 "48 ÷ 2(12)"의 경우, 연산 순서 규칙에 따라 나눗셈과 곱셈을 왼쪽에서 오른쪽으로 처리합니다. 이러한 차이는 주로 수학적 관습과 연산 순서 규칙에서 비롯됩니다.
따라서 "48 ÷ 2(12)"를 한 덩어리로 보기 위해서는 다음과 같이 명확하게 괄호를 사용해야 합니다:
\[ 48 ÷ (2 \times 12) \]
이 경우 결과는 2가 됩니다. 그렇지 않으면, 일반적인 관습에 따라 답은 288이 됩니다.
-
세상의모든계산기
fx-570EX 기종은 이제 괄호를 강제로 추가해 버리네요.
세상의모든계산기 님의 최근 댓글
수치해석 방법 method 를 강제로 선택할 수 있으면 좋을텐데... 위의 스샷을 보면 되는 듯 하면서도 아래 스샷을 보면 안되는 것 같기도 합니다. solve(Expr,[Var]) csolve(LstEq,LstVar) nSolve(Expr,Var,[Guess or Interval],[Method]) deSolve(Eq,[TimeVar],FncVar) linsolve(LstLinEq,LstVar) fsolve(Expr,Var,[Guess or Interval],[Method]) 2025 10.17 종합해서 답변을 드리면 HP Prime 에 solve 에서 변수명에 구간을 입력하면 수치해석 방식으로 bisection 을 사용함. 이 bisection 방식은 해의 좌-우 부호가 서로 바뀌어야만 해를 인식하고 해의 좌-우 부호가 같으면 해를 인식하지 못합니다. 이 때문에 본문 sin 의 예나 아래 사진의 예에서는 해를 인식하지 못하는 것으로 보입니다. 2025 10.17 Gemini-2.5-pro 답변 ✦ 현대 컴퓨터 대수 시스템(CAS) 계산기에 탑재된 solve 기능의 일반적인 내부 동작 원리에 대해 설명해 드리겠습니다. 현대 CAS의 solve 기능은 단순히 하나의 알고리즘으로 작동하는 것이 아니라, 마치 '순수 수학자'와 '문제 해결 공학자'가 협력하는 것처럼, 여러 단계에 걸친 정교한 '하이브리드(Hybrid)' 방식으로 동작합니다. solve 함수의 작동 과정 1단계: 기호적 해법 (Symbolic Solver) - '순수 수학자'의 접근 계산기는 가장 먼저 방정식을 대수적으로, 즉 정확한 수학적 해를 찾으려고 시도합니다. 이 단계는 마치 사람이 공식을 이용해 문제를 푸는 과정과 같습니다. 1. 방정식 분석: solve 명령을 받으면, 시스템은 먼저 입력된 방정식의 구조를 분석합니다. (예: 이것이 다항식인가? 삼각방정식인가? 로그방정식인가?) 2. 규칙 기반 풀이: 분석된 구조에 따라, 시스템은 내장된 방대한 수학 규칙 라이브러리를 적용합니다. * 선형/이차 방정식: ax+b=c 나 ax²+bx+c=0 같은 형태는 이항, 인수분해, 근의 공식 등을 이용해 즉시 풉니다. * 고차 다항식: 인수분해, 조립제법 등의 규칙을 적용하여 유리수 해를 찾습니다. * 삼각방정식: sin(x) = 0.5 와 같은 경우, x = nπ + (-1)ⁿ * (π/6) 와 같이 주기성을 고려한 일반해 공식을 적용합니다. * 기타: 로그, 지수 법칙 등 해당 방정식에 맞는 대수적 풀이법을 총동원합니다. 3. 결과: 이 단계에서 해를 찾으면, 1.414... 와 같은 근사값이 아닌 √2 나 π/3 와 같은 정확한 기호 형태의 해를 반환합니다. > 강점: 수학적으로 완벽하고 정확한 해를 제공합니다. > 한계: 대수적인 풀이법이 알려져 있지 않은 방정식(예: cos(x) = x 또는 eˣ = x+2)은 풀 수 없습니다. --- 2단계: 수치적 해법 (Numerical Solver) - '문제 해결 공학자'의 접근 만약 1단계의 '순수 수학자'가 "이건 공식으로 풀 수 없어"라고 결론 내리면, solve 기능은 포기하지 않고 2단계인 '문제 해결 공학자'에게 문제를 넘깁니다. 이 단계의 목표는 정확한 해는 아니더라도, 매우 정밀한 근사해를 찾는 것입니다. 1. 반복적 탐색: 수치적 해법은 방정식을 직접 푸는 것이 아니라, 해가 있을 만한 지점에서부터 시작하여 반복적인 계산을 통해 해에 점점 더 가까워지는 방식을 사용합니다. * 적당한 값을 추측해서 대입해 봅니다. * 결과가 0보다 큰지 작은지에 따라, 다음 추측값을 어느 방향으로 수정할지 결정합니다. * 이 과정을 수없이 반복하여 오차가 거의 0에 가까워질 때까지 해를 좁혀나갑니다. 2. 핵심 알고리즘: 이때 사용되는 대표적인 알고리즘은 다음과 같습니다. * 뉴턴-랩슨법 (Newton-Raphson Method): 미분(접선)을 이용하여 매우 빠른 속도로 해에 수렴하는 강력한 방법입니다. * 이분법 (Bisection Method): 해가 존재하는 특정 구간을 계속 절반으로 나누어 범위를 좁혀나가는 방식으로, 속도는 느리지만 안정적으로 해를 찾을 수 있습니다. 3. 결과: 이 단계가 성공하면, 시스템은 0.739085133215 와 같이 소수점 아래 여러 자리까지 표현되는 매우 정밀한 부동소수점 형태의 근사해를 반환합니다. > 강점: 대수적으로 풀 수 없는 복잡한 방정식의 해도 근사적으로 찾아낼 수 있습니다. > 한계: 근사해이며, 알고리즘의 특성상 특정 조건(예: 해가 중근을 갖는 경우)에서는 해를 찾지 못하고 실패할 수도 있습니다. 결론: 왜 하이브리드 방식인가? 분석 → 기호적 풀이 시도 → (실패 또는 불가능 시) → 수치적 풀이로 전환 이처럼 현대 CAS의 solve 기능은 정확성(기호적 해법)과 범용성(수치적 해법)이라는 두 마리 토끼를 모두 잡기 위해 설계된 정교한 협력 시스템입니다. 먼저 가장 이상적인 '정확한 해'를 추구하되, 그것이 불가능할 경우 차선책으로 '정밀한 근사해'라도 찾아내어 사용자에게 최대한의 결과를 제공하는 것입니다. 2025 10.17 hp prime 이 solve 함수에서 해를 찾는데 어떤 방법(method)을 사용하는지 공식적인 무서로 정확하게 파악되진 않습니다. 2025 10.17 참고 x=guess 는 iterative 방식(일반적으로는 newton's method를 의미함)을 x=xmin .. xmax 는 bisection 방식을 사용하는 듯 합니다. // 구간지정 개념과는 차이가 있는 듯? 2025 10.17