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성장 연금의 현재가치 계산
1. 성장연금이란?
'성장연금'이란 매기의 납부(or 획득)하는 연금액이 일정한 "비율(g, growth)"로 증가하는 연금을 말합니다. 연금액의 성장률은 시장이자율보다 클 수도 있고 작을 수도 있습니다. (일반적으로 시장이자율보다는 작습니다. 특히 영구 성장연금에서는 작아야만 합니다.)
배당액이 매년 증가하는 주식의 가치를 평가할 때도 사용할 수 있고, 연봉이 매년 증가할 때, 연봉 수입의 현재가치를 구할 때도 사용할 수 있습니다.
2. 영구 vs 비영구(기간)
연금을 수령하는 기간이 한정되어 있는 연금은 비영구이고, 기간이 무한(∞)한 연금은 영구성장형 연금이라고 부릅니다.
3. 계산 공식
기수 | 연금 수령액 | 현재가치(PV) | 비고 |
---|---|---|---|
1기 | a | a/(1+r) | 시장이자율 = r |
2기 | a × (1+g) | a × (1+g) / (1+r)² = (a/(1+r)) × ((1+g)/(1+r)) |
|
3기 | a × (1+g)² | a × (1+g)² / (1+r)³ = (a/(1+r)) × ((1+g)/(1+r))² |
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n기 | a × (1+g)ⁿ-¹ | (a/(1+r)) × ((1+g)/(1+r))ⁿ-¹ |
- 1기 ~ n기까지 연금 수령액 각각의 현재가치를 나열하면 등비수열을 이룹니다.
초항=pv0 = (a/r), 공비=r_g=(1+g)/(1+r) - 따라서 1기 ~ n기의 연금 수령액 현재가치 합계 ∑(PVk) 는 등비수열의 합으로 계산할 수 있습니다.
- 비영구 성장연금의 현재가치는 등비수열의 합의 공식을 이용하고,
영구 성장연금(n→∞)의 현재가치는 무한등비급수 공식을 이용하면 됩니다.
공식에 대한 상세한 내용은 위키:등비수열 등을 참고하시기 바랍니다.
4. 재무/공학용 계산기의 활용 예시
예시) 비영구 성장연금
첫해(1기 말)의 연금수령액이 100원이고, 매년 10% 증가한다(g=0.1). 5년간 연금을 수령한다고 할 때 연금의 현재가치(PV)를 구하여라. (단 시장 이자율은 15% 이다.)
- 해법1 : 매기의 연금을 계산하고, 그 현재가치를 각각 구해서 더함
npv(r*100, 0, pension) = 398.6
- 해법2 : 등비수열의 합(=등비급수)의 공식을 이용
(초항 pv0, 공비 r_g)
- 해법3 : 재무함수 tvmPV() 를 이용
(일정한 연금의 현재가치와 동일하게 파악, 대신 시장이자율(i)을 조정하여 대입)
이 때는, pv0×(1+i) 가 매기 연금액에 해당함에 주의하여야 합니다.
마지막 계산식에서 ,,,1 은 기초(期初,BGN)에 연금을 수령하는 것을 의미합니다.
예시) 영구 성장연금
영구 성장연금은 n이 무한대(∞)이기 때문에 CF 를 모두 입력하여 계산할 수가 없습니다.
따라서 공학용 계산기든 재무용 계산기든 위에서 살펴본 해법1과 해법3은 사용할 수가 없고, // 오차 허용하면 적당히 구할 수는 있음.
오직 해법2처럼 이에 해당하는 공식에 대입해 결과를 얻을 수밖에 없습니다.
(등비급수보다 공식은 오히려 더 간단합니다)
공식 : (단, r_g<1이어야 함. 즉, r>g)
Comment 2
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3차년도 말에서 45원을 받고, 이후 매년 말마다 전년 대비 5%씩 수령액이 증가하는 성장형 연구연금의 현재가치
https://kin.naver.com/qna/detail.naver?d1id=11&dirId=111301&docId=475052651
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PV = 100000 / 1.022 + (100000*1.03)/1.022^2 + 100000*(1.03^2)/1.022^3 + ....... + 100000*(1.03^9)/1.022^10
https://kin.naver.com/qna/detail.naver?d1id=4&dirId=40402&docId=436967857