예시 - 조각함수를 헤비사이드 함수로 표현하면?

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$ f_5(x) = \begin{cases}0,x<-2 \\ −1,−2≤x<−1 \\ x,−1≤x<1 \\ 3-x,1≤x<2 \\ 0,2≤x \end{cases} $ 

주어진 함수 \( f_5(x) \)는 단위 계단 함수 자체가 아니라 구간별로 정의된 함수입니다.

이를 단위 계단 함수(Heaviside 함수)로 표현한다는 것은, 구간별로 정의된 함수의 각 부분을 단위 계단 함수로 변환하여 하나의 표현식으로 나타내는 것을 의미합니다. 

단위 계단 함수 \( u(x - c) \)는 특정 지점 \( c \)에서 값이 0에서 1로 변하는 특성을 갖고 있으므로, 이를 이용해 여러 구간에 대해 함수 값을 정의할 수 있습니다.

 

우선, 주어진 함수 \( f_5(x) \)는 여러 구간으로 나뉘어 있습니다:

1. \( -2 \leq x < -1 \) 에서 \( f_5(x) = -1 \)
2. \( -1 \leq x < 1 \) 에서 \( f_5(x) = x \)
3. \( 1 \leq x < 2 \) 에서 \( f_5(x) = 3 - x \)
4. \( 2 \leq x \) 에서 \( f_5(x) = 0 \)
5. \( x < -2 \) 에서 \( f_5(x) = 0 \)

 

이제 각 구간에 해당하는 부분을 단위 계단 함수를 사용해 나타내 보겠습니다.

 

1. 구간 \( -2 \leq x < -1 \)에서
이 구간에서 함수는 \( f_5(x) = -1 \)입니다.

이를 단위 계단 함수로 표현하면, 구간 \( -2 \leq x < -1 \)에 해당하는 부분을 \( u(x + 2) - u(x + 1) \)로 나타낼 수 있습니다.

즉, \( x = -2 \)에서 함수가 시작되고, \( x = -1 \)에서 끝납니다.

따라서, 이 구간에서 \( f_5(x) \)는 다음과 같습니다:
\[
-1 \cdot (u(x + 2) - u(x + 1))
\]

 

2. 구간 \( -1 \leq x < 1 \)에서
이 구간에서 함수는 \( f_5(x) = x \)입니다. 이

구간을 단위 계단 함수로 표현하면, 구간을 \( u(x + 1) - u(x - 1) \)로 나타낼 수 있습니다.

따라서, 이 구간에서 \( f_5(x) \)는:
\[
x \cdot (u(x + 1) - u(x - 1))
\]

 

3. 구간 \( 1 \leq x < 2 \)에서
이 구간에서 함수는 \( f_5(x) = 3 - x \)입니다.

이 구간을 단위 계단 함수로 표현하면, 구간을 \( u(x - 1) - u(x - 2) \)로 나타낼 수 있습니다.

따라서, 이 구간에서 \( f_5(x) \)는:
\[
(3 - x) \cdot (u(x - 1) - u(x - 2))
\]

 

4. 구간 \( 2 \leq x \)
이 구간에서 함수는 \( f_5(x) = 0 \)이므로 따로 표현하지 않아도 됩니다.

단위 계단 함수로 이 구간을 표현하면 \( u(x - 2) \)가 될 수 있습니다.

 

5. 구간 \( x < -2 \)
이 구간에서 함수는 \( f_5(x) = 0 \)이므로 따로 표현하지 않아도 됩니다.

단위 계단 함수로는 \( u(x + 2) \)로 표현할 수 있습니다.

 

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전체 조각함수를 단위 계단 함수로 표현

 

위의 각 구간을 종합하면, \( f_5(x) \)를 단위 계단 함수로 표현한 결과는 다음과 같습니다:

\[
f_5(x) = -1 \cdot (u(x + 2) - u(x + 1)) + x \cdot (u(x + 1) - u(x - 1)) + (3 - x) \cdot (u(x - 1) - u(x - 2))
\]

이처럼 단위 계단 함수를 이용해 구간별 함수들을 하나의 식으로 나타낼 수 있습니다.

따라서, 주어진 함수는 단위 계단 함수가 아니지만, 단위 계단 함수를 활용하여 동일한 동작을 표현할 수 있습니다.