- TI nspire
두 원이 주어졌을 때, 공통 내접선의 교점과 기울기를 구하는 방법 (프로그램)
-
- 2016.02.26 - 16:21 2015.10.29 - 08:23 5245 1
문제 : 두 원에 대하여 c1={x1, y1, r1}, c2={x2, y2, r2} 로 입력받았다고 할 때,
공통내접선의 교점과 기울기를 구하려면?
- 내접선의 교점은 두 원의 중심을 이은 직선을 r1:r2 로 내분한 점(idp)과 같다.
ㄴ Internally Dividing Point
- 1.의 내분점(IDP) 과 c1 사이의 거리, IDP와 접선의 (c1에서의) 접점 사이의 거리를 구한다.
ㄴ IDP와 접선의 접점 사이 거리 = 내접선의 길이 * 내분 비율
- 각도 t1, t2를 구한다.
t1 = c1과 c2의 중점을 잇는 직선이 x축과 이루는 각
t2 = c1에서의 공통내접점 ~ 원의 중심 ~ IDP 사잇각
- 4. t1, t2를 이용해 기울기를 구한다.
아래는 TI-nspire 에서 작성된 프로그램입니다.
Define common_itl()=
Prgm
:© Request basic data for 2 circles
:Request "{x1,y1,r1} List =",circle1,0
:Request "{x2,y2,r2} List =",circle2,0
:
:© Check data compatibility
:If (circle2[1]-circle1[1])^(2)+(circle2[2]-circle1[2])^(2)<(circle1[3]+circle2[3])^(2) Then
: Disp "Too close"
: Goto end
:EndIf
:
:newList(3)→circle3
:
:© Redefine vars to draw graph
:circle1[1]→circle1.x
:circle1[2]→circle1.y
:circle1[3]→circle1.r
:circle2[1]→circle2.x
:circle2[2]→circle2.y
:circle2[3]→circle2.r
:
:© Calculate Internally Dividing Point
:((circle1[3]*circle2[1]+circle2[3]*circle1[1])/(circle1[3]+circle2[3]))→idp.x
:((circle1[3]*circle2[2]+circle2[3]*circle1[2])/(circle1[3]+circle2[3]))→idp.y
:
:© Calculate Distances between IDP and the center of circles
:Local circle1.ratio,circle2.ratio
:((circle1[3])/(circle1[3]+circle2[3]))→circle1.ratio
:((circle2[3])/(circle1[3]+circle2[3]))→circle2.ratio
:
:√((circle2[1]-circle1[1])^(2)+(circle2[2]-circle1[2])^(2))→distance.c1c2
:distance.c1c2*circle1.ratio→distance.c1idp
:distance.c1c2*circle2.ratio→distance.c2idp
:
:√(distance.c1c2^(2)-(circle1[3]+circle2[3])^(2))→distance.citl
:distance.citl*circle1.ratio→circle3.r
:circle3.r→circle3[3]
:
:© Calculate Slope of Tangent Line
:tan(((circle2[2]-circle1[2])/(circle2[1]-circle1[1])))→t1
:tan(((circle3[3])/(circle1[3])))→t2
:
:tan(t1+t2+((π)/(2)))→idp.slope1
:tan(t1-t2+((π)/(2)))→idp.slope2
:
:Disp "circle1=",circle1," and circle2=",circle2
:Disp "Intersection point of Common_ITL=",{idp.x,idp.y}
:Disp "Slope of Common_ITL=",approx({idp.slope1,idp.slope2})
:c1_itp()
:
:Lbl end
:EndPrgm
-
25
댓글1
-
세상의모든계산기
C1에서의 공통 내접선의 접점을 구하려면?
- C1과 C3을 연립하여 풀거나,
ㄴ C3는 (idp,x,idp.y)를 중심으로 하고 위에서 구한 circle3.r 을 반지름으로 하는 원 - c1->idp 벡터를 (t2)만큼 회전하고 scalar 곱하여 구할 수 있음.
[[cos(θ),−sin(θ)][sin(θ),cos(θ)]]→rot_matrix(θ)
((circle1.r)/(distance.c1idp))*rot_matrix(±t2)*(vector.c3-vector.c1)+vector.c1
- C1과 C3을 연립하여 풀거나,
세상의모든계산기 님의 최근 댓글
- claude AI는 l-c*r^2 을 1-c*r^2 으로 잘못 읽고 표시하고 있습니다. - TI-nspire CAS 계산기에 l-c*r^2 ≥0 을 조건에 추가해 계산해 보아도 결과는 바뀌지 않습니다. 2026 07.20 ⚠️ 경고가 바로 두 번째 방법이 "성공"한 이유와 정확히 연결되어 있습니다. 경고의 의미 "Domain of the result might be larger than the domain of the input"는 CAS가 절댓값(모듈러스)을 계산하는 과정에서 원래 식보다 정의역이 더 넓은 형태로 단순화했다는 뜻입니다. 구체적으로 이 계산은 내부적으로 대략 이런 과정을 거칩니다. $$\left|\frac{er}{e\cdot r}\right| = \sqrt{\left(\frac{er}{e\cdot r}\right)\cdot\overline{\left(\frac{er}{e\cdot r}\right)}}$$ 즉 원래 식(복소수)과 그 켤레복소수를 곱해서 실수부·허수부 제곱합을 만들고, 거기에 다시 제곱근을 씌우는 과정입니다. 이 과정에서 √(x²) → x 또는 √a·√b → √(ab) 같은 규칙들이 쓰이는데, 이런 규칙들은 x가 실수이고 0 이상일 때만 엄밀하게 성립합니다. CAS는 이 조건들을 일일이 다 추적하지 않고 넘어가면서, 원래는 (e≠0, r+l·ω·i ≠ 0 등) 복소수 특유의 좁은 정의역을 가진 식을, r, l, ω가 어떤 실수여도(부호 무관하게) 정의되는 1/√(r²+l²·ω²)라는 더 넓은 정의역의 식으로 바꿔버린 것입니다. CAS는 이 손실을 감지하고 경고를 띄운 것입니다. 이게 왜 조건 대입 성공과 연결되는가 정리하면, 이 경고는 사실상 이런 뜻입니다. "나는 이 결과를 만들면서 원래 식이 가지고 있던 정의역 제약 정보(부호 조건, i 관련 조건 등)를 이미 버렸다." 바로 이 "정의역 정보를 버린" 상태가 이후 con_1 대입을 매끄럽게 만드는 원인입니다. 첫 번째 시도에서는 i가 살아있는 원래 식에 조건을 대입했기 때문에, CAS가 √(1-c·r²)이 실수인지(정의역 조건: 1-c·r² ≥ 0) 계속 추적하려고 했고, 그 정보가 con에 없어서 더 이상 정리를 못 하고 멈췄습니다. 두 번째 시도에서는 절댓값 계산 단계에서 이미 그런 세밀한 정의역 추적을 CAS 스스로 포기(단순화)했기 때문에, 이후 ω에 무리식을 대입해도 "이게 실수가 맞나?" 하는 검증 절차 없이 그냥 대수적으로 치환·정리해 버립니다. 그래서 깔끔하게 √c/√l이 나온 겁니다. 한 줄 요약 절댓값 계산 시 뜬 "정의역이 넓어졌을 수 있다"는 경고는, CAS가 그 순간에 원래 식의 엄밀한 조건(정의역)을 놓쳤다는 신호이고, 바로 그 "조건을 놓친 상태"이기 때문에 뒤에 이어지는 조건식 대입이 막힘없이 진행된 것입니다. 다만 그 대가로, 결과인 1/√(r²+l²·ω²)이나 최종 √c/√l이 원래 회로 조건(i≠0이 되는 경계, 분모가 0이 되는 경우 등)에서는 엄밀히 성립하지 않을 수 있다는 점은 감안하셔야 합니다. 실제 물리적으로는 r, l, c > 0이고 결과도 물리적으로 타당한 형태라 문제없어 보이지만, 수학적 엄밀성 측면에서는 "정의역이 넓어진 근사적 결과"라는 꼬리표가 붙어있는 셈입니다. 2026 07.20 Claude AI 답변 TI-Nspire CAS의 | (such that / 조건대입) 연산자는 대입 시점의 수식 형태를 그대로 두고 기호만 치환하는 연산입니다. 대입 후에 처음부터 다시 "실수부/허수부 분리, 유리화" 같은 재간소화를 자동으로 수행하지 않습니다. 이 차이가 지금 보신 결과 차이의 핵심입니다. 첫 번째 경우 (|er/(e·r)| | con_1 and con → 실패) 이 시점의 식은 아직 r + l·ω·i 형태의 복소수 그대로입니다 (i가 살아있음). 여기에 con_1: ω = √(1-c·r²)/(√c·l)을 대입하면, 분모 안에 i · √(1-c·r²) 라는 항이 새로 생깁니다. 문제는 CAS가 √(1-c·r²)이 실수인지(즉 1-c·r² ≥ 0인지) 판단할 근거가 없다는 겁니다. 저장해 두신 con 조건은 c>0, l>0, r>0뿐이고, 1-c·r²≥0이라는 조건은 포함되어 있지 않습니다. 그래서 CAS는 i와 이 무리식을 더 정리(유리화, 실수부·허수부 재결합)하지 못하고 있는 그대로 남겨둡니다. 결과에 여전히 i가 보이는 이유입니다. 두 번째 경우 (결과값 1/√(r²+l²·ω²)에 대입 → 성공) |er/(e·r)| (절댓값/모듈러스) 연산은 그 자체로 이미 "복소수 → 실수" 변환을 완료한 결과입니다. 즉 1/√(r²+l²·ω²)에는 더 이상 i가 없고, 순수하게 r, l, ω로만 이루어진 실수식입니다. 이 식에 ω = con_1을 대입하는 것은 그냥 실수 대수식에 실수 대입하는 것이므로, i와 무리식이 뒤엉키는 문제 자체가 발생하지 않습니다. 그래서 바로 깔끔하게 √c/√l로 정리됩니다. 정리하면 절댓값(모듈러스) 계산은 "이 값들이 실수다"라는 가정을 이미 내부적으로 써서 i를 제거하는 연산입니다. 그 연산을 조건 대입 이전에 해두면, 이후 대입은 단순 실수 대입이라 문제없이 정리됩니다. 반대로 i가 남아있는 식에 무리식을 포함한 조건을 먼저 대입하면, 그 무리식의 실수성/부호에 대한 가정이 없어서 CAS가 i를 소거하는 재간소화를 못 하고 멈춰버립니다. 실용적 팁: 복소식에 조건을 대입해야 할 때는 가능하면 절댓값·실수화(유리화) 등을 먼저 끝내서 i를 없앤 뒤 조건을 대입하거나, 대입 후 결과에 다시 simplify/expand/combine 같은 명령을 한 번 더 걸어주면 (필요한 도메인 조건과 함께) 정리가 되는 경우가 많습니다. 2026 07.19 저도 어림잡아 추측할 뿐이지 정확한 이유를 알지는 못합니다. 질문하신 사진을 그대로 (Gemini 3.5 Flash / ChatGPT / Claude Sonnet 5) AI에 넣어 보니 claude AI 가 제일 합리적인 답변을 주어서 이를 붙여 넣습니다. 2026 07.19 아 그렇네요. 감사합니다. ^^ 2026 04.28