크래머의 규칙 = 크라메르 공식 = Cramer's Rule

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크래머의 규칙 = 크라메르 공식 = Cramer's Rule

- 세상의모든계산기
  *.165.6.43
- 2024.10.19 - 13:47 2015.10.23 - 22:33 1984 3

연립 방정식을 크래머의 규칙(Cramer’s Rule)을 사용하여 풀어 보겠습니다.

$[\begin{matrix} 4 & 5 & 0 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 5 & 2 \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}] = [\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{matrix}]$

1. 행렬과 열 벡터 정의

- 계수 행렬 $A$ :
$A = [\begin{matrix} 4 & 5 & 0 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 5 & 2 \end{matrix}]$
- 변수 벡터 $x$ :
$x = [\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}]$
- 상수 벡터 $b$ :
$b = [\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{matrix}]$

2. 행렬식 계산

크래머의 규칙을 사용하려면 먼저 계수 행렬 $A$ 의 행렬식 $D$ 를 계산합니다.

$D = | \begin{matrix} 4 & 5 & 0 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 5 & 2 \end{matrix} |$

행렬식 $D$ 는 다음과 같이 계산됩니다:

$D = 4 | \begin{matrix} 1 & 2 \\ 5 & 2 \end{matrix} | - 5 | \begin{matrix} 2 & 2 \\ 1 & 2 \end{matrix} | + 0 | \begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 5 \end{matrix} |$

각 소행렬식은 다음과 같습니다:
- $| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 5 & 2 \end{matrix} | = (1) (2) - (2) (5) = 2 - 10 = - 8$

- $| \begin{matrix} 2 & 2 \\ 1 & 2 \end{matrix} | = (2) (2) - (2) (1) = 4 - 2 = 2$

따라서, $D$ 는 다음과 같이 계산됩니다:
$D = 4 (- 8) - 5 (2) + 0 = - 32 - 10 = - 42$

3. 각 변수의 행렬식 계산

각 변수 $x, y, z$ 에 대해 $D_{x}, D_{y}, D_{z}$ 를 계산합니다.

$D_{x}$ 계산
$D_{x}$ 는 $A$ 의 첫 번째 열을 상수 벡터 $b$ 로 대체한 행렬의 행렬식입니다:
$D_{x} = | \begin{matrix} 2 & 5 & 0 \\ 3 & 1 & 2 \\ 1 & 5 & 2 \end{matrix} |$

계산 방법은 다음과 같습니다:
$D_{x} = 2 | \begin{matrix} 1 & 2 \\ 5 & 2 \end{matrix} | - 5 | \begin{matrix} 3 & 2 \\ 1 & 2 \end{matrix} | + 0 | \begin{matrix} 3 & 1 \\ 1 & 5 \end{matrix} |$

각 소행렬식은 다음과 같습니다:
- $| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 5 & 2 \end{matrix} | = - 8$ (이미 계산됨)

- $| \begin{matrix} 3 & 2 \\ 1 & 2 \end{matrix} | = (3) (2) - (2) (1) = 6 - 2 = 4$

따라서 $D_{x}$ 는 다음과 같이 계산됩니다:
$D_{x} = 2 (- 8) - 5 (4) + 0 = - 16 - 20 = - 36$

$D_{y}$ 계산
$D_{y}$ 는 $A$ 의 두 번째 열을 상수 벡터 $b$ 로 대체한 행렬의 행렬식입니다:
$D_{y} = | \begin{matrix} 4 & 2 & 0 \\ 2 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \end{matrix} |$

계산 방법은 다음과 같습니다:
$D_{y} = 4 | \begin{matrix} 3 & 2 \\ 1 & 2 \end{matrix} | - 2 | \begin{matrix} 2 & 2 \\ 1 & 2 \end{matrix} | + 0 | \begin{matrix} 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{matrix} |$

각 소행렬식은 다음과 같습니다:
- $| \begin{matrix} 3 & 2 \\ 1 & 2 \end{matrix} | = 4$ (이미 계산됨)

- $| \begin{matrix} 2 & 2 \\ 1 & 2 \end{matrix} | = 2$ (이미 계산됨)

따라서 $D_{y}$ 는 다음과 같이 계산됩니다:
$D_{y} = 4 (4) - 2 (2) + 0 = 16 - 4 = 12$

$D_{z}$ 계산
$D_{z}$ 는 $A$ 의 세 번째 열을 상수 벡터 $b$ 로 대체한 행렬의 행렬식입니다:
$D_{z} = | \begin{matrix} 4 & 5 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 5 & 1 \end{matrix} |$

계산 방법은 다음과 같습니다:
$D_{z} = 4 | \begin{matrix} 1 & 3 \\ 5 & 1 \end{matrix} | - 5 | \begin{matrix} 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{matrix} | + 2 | \begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 5 \end{matrix} |$

각 소행렬식은 다음과 같습니다:
- $| \begin{matrix} 1 & 3 \\ 5 & 1 \end{matrix} | = (1) (1) - (3) (5) = 1 - 15 = - 14$

- $| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{matrix} | = (2) (1) - (3) (1) = 2 - 3 = - 1$

- $| \begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 5 \end{matrix} | = (2) (5) - (1) (1) = 10 - 1 = 9$

따라서 $D_{z}$ 는 다음과 같이 계산됩니다:
$D_{z} = 4 (- 14) - 5 (- 1) + 2 (9) = - 56 + 5 + 18 = - 33$

4. 변수 계산

크래머의 규칙에 따라 각 변수는 다음과 같이 계산됩니다:

$x = \frac{D_{x}}{D} = \frac{- 36}{- 42} = \frac{36}{42} = \frac{6}{7}$

$y = \frac{D_{y}}{D} = \frac{12}{- 42} = - \frac{2}{7}$

$z = \frac{D_{z}}{D} = \frac{- 33}{- 42} = \frac{33}{42} = \frac{11}{14}$

5. 최종 결과

따라서 주어진 연립 방정식의 해는:
$x = \frac{6}{7}, y = - \frac{2}{7}, z = \frac{11}{14}$

참고 - https://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%81%AC%EB%9D%BC%EB%A9%94%EB%A5%B4_%EA%B3%B5%EC%8B%9D

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세상의모든계산기 Lv. 25

계산기는 거들 뿐
혹은
계산기를 거들 뿐

- 세상의모든계산기 (*.165.6.43) 2015.10.23 22:59 #comment_8986
  
  ※ 행렬의 입력 & 계산 - 확장 라이브러리 Matrix Library https://allcalc.org/1843 사용하면...
  
  ㄴ 문제의 행렬식 입력
  
  ㄴ 라이브러리 단축키 지정 (안해도 되는데 안하면 더 복잡하니까...)
  
  ㄴ 역행렬을 통한 풀이 (참조 확인용)
  
  ㄴ i번째 열을 각각 m_c로 치환
  
  ㄴ 각각의 치환된 행렬의 Det(=행렬식)
  
  ㄴ 여인수 전개를 해 볼 경우
  
  ㄴ 최종 결과의 계산
  
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  댓글
- 세상의모든계산기 (*.165.6.43) 2015.10.29 09:26 #comment_9400
  
  행렬 원소가 복소수인 경우에는?
  
  이 공식은 계수가 복소수인 경우에도 성립하기 때문에,
  복소수 행렬 및 복소수 연립방정식이 불가능한 계산기에서도 이 공식을 이용하여
  
  프로그램을 짤 수만 있다면 복소수 해를 구할 수 있습니다. (fx-5800P, EL-9900 등)
  
  리스트 기능 및 공식 저장 기능이 없는 fx-570 급의 계산기로는
  
  이 방법을 이용해 직접 계산하는 것이 상당히 어렵다고 보시는게 좋겠습니다.
  
  0
  
  댓글
- 세상의모든계산기 (*.105.205.197) 2024.09.30 12:32 #comment_48581
  
  크래머의 규칙(Cramer’s Rule)은 연립 선형 방정식의 해를 구하는 방법 중 하나로, 몇 가지 중요한 의미와 특성을 가집니다:
  
  1. 선형 대수의 기초 개념: 크래머의 규칙은 행렬, 행렬식(determinant), 선형 변환 등 선형 대수의 기본 개념을 활용합니다. 이는 학생들에게 선형 대수의 기초를 이해하는 데 도움을 줍니다.
  
  2. 해의 존재 조건: 크래머의 규칙은 계수 행렬의 행렬식이 0이 아닐 때 유효합니다. 이는 해가 존재하고 유일하다는 것을 의미합니다. 만약 행렬식이 0이면 해가 존재하지 않거나 무한히 많다는 것을 나타냅니다.
  
  3. 해의 표현: 크래머의 규칙을 통해 각 변수의 해를 행렬식의 비율로 표현할 수 있습니다. 이는 수학적으로 매우 간결한 형태로 해를 도출할 수 있게 해줍니다.
  
  4. 공간적 해석: 크래머의 규칙은 기하학적으로도 해석될 수 있습니다. 3차원에서 세 개의 평면이 만나는 점을 찾아내는 과정으로 생각할 수 있으며, 이 점이 연립 방정식의 해가 됩니다.
  
  5. 컴퓨터 과학 및 공학적 응용: 크래머의 규칙은 컴퓨터 과학과 공학에서 시스템의 해를 찾는 데 사용됩니다. 특히, 작은 시스템에서는 직접 계산으로도 효율적입니다.
  
  6. 교육적 도구: 크래머의 규칙은 학생들이 선형 방정식의 해를 구하는 방법을 배우는 데 유용한 도구로, 다양한 문제를 해결하는 데 사용될 수 있습니다.
  
  7. 해의 정수성: 계수 행렬과 상수 벡터가 정수로 이루어져 있다면, 크래머의 규칙을 통해 얻은 해도 정수가 될 수 있는 가능성이 있습니다.
  
  이와 같은 점에서 크래머의 규칙은 수학적 사고를 발전시키고, 연립 방정식의 해를 효과적으로 찾는 방법으로 널리 사용됩니다.
  
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