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3×3 이상인 행렬의 행렬식 determinant
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- 2024.10.19 - 14:30 2024.10.19 - 13:56 55 2
행렬식은 주어진 정사각행렬이 어떤 성질을 가지는지, 즉 그 행렬이 역행렬을 가질 수 있는지(가역성), 그리고 해당 행렬이 어떤 선형 변환을 나타내는지를 이해하는 데 필수적인 역할을 합니다.
간혹 행렬식(det)을 판별식(d)이라고 잘못 부르는 경우가 있습니다.
모두 그 이름에서 어떤 '식'의 형태를 가지며, 결과적으로 어떤 값을 도출하는 역할을 한다는 점에서 기능적 유사성도 있습니다. "determinant"는 영어로 '결정하다'는 의미를 가지며, "discriminant"는 '구분하다'는 의미를 지니기에 의미적 유사성까지 있어서 두 용어를 혼동하여 사용하는 경우가 있는 것 같습니다.
하지만 서로 다른 개념이므로 용어를 확실하게 구분해서 사용해야 합니다.
1. 행렬식이란?
행렬식은 정사각행렬에 대해 정의되는 값으로, 일반적으로 \(\text{det}(A)\) 또는 \(|A|\)로 표기됩니다. 행렬식은 다음과 같은 경우에 유용합니다:
- 역행렬 존재 여부: 행렬식이 0이 아니면 행렬은 가역 행렬(역행렬이 존재함)이고, 0이면 비가역 행렬(역행렬이 존재하지 않음)입니다.
- 선형 변환의 크기: 행렬식은 선형 변환의 크기나 방향을 나타냅니다. 예를 들어, 평면에서 면적, 3차원 공간에서는 부피 변화를 나타낼 수 있습니다.
2. \(2 \times 2\) 행렬의 행렬식
\(2 \times 2\) 행렬의 행렬식은 다음과 같이 쉽게 계산할 수 있습니다:
\[
A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}
\]
\[
\text{det}(A) = ad - bc
\]
3. \(3 \times 3\) 행렬의 행렬식
\(3 \times 3\) 행렬의 행렬식은 조금 더 복잡하며, 일반적으로 다음과 같이 정의됩니다:
\[
A = \begin{pmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i
\end{pmatrix}
\]
이때, 행렬식 \(\text{det}(A)\)는 소행렬식 전개(cofactor expansion, 여인수 전개)을 통해 계산합니다:
\[
\text{det}(A) = a \begin{vmatrix} e & f \\ h & i \end{vmatrix} - b \begin{vmatrix} d & f \\ g & i \end{vmatrix} + c \begin{vmatrix} d & e \\ g & h \end{vmatrix}
\]
여기서 각 소행렬식은 \(2 \times 2\) 행렬의 행렬식으로 계산됩니다.
\[
\text{det}(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
\]
4. \(n \times n\) 행렬의 행렬식
\(3 \times 3\) 이상의 행렬, 즉 \(n \times n\) 행렬의 행렬식은 소행렬식 전개(cofactor expansion, 여인수 전개)를 거듭하여 계산할 수 있습니다. 이는 한 행이나 열을 선택하고 그에 대해 소행렬식들을 계산하는 방식입니다. 예를 들어, \(4 \times 4\) 행렬의 행렬식은 \(3 \times 3\) 행렬식의 합으로 표현됩니다. 이 과정은 \(n\)이 커질수록 계산 복잡도가 기하급수적으로 증가합니다.
따라서 컴퓨터 알고리즘을 사용할 때는 가우스 소거법이나 LU 분해법 같은 효율적인 방법이 자주 사용됩니다. 이러한 방법들은 행렬식을 직접 계산하는 대신 행렬의 특성을 변형하여 간접적으로 값을 구하는 방식입니다.
5. 행렬식의 성질
행렬식은 여러 가지 중요한 성질을 가지고 있습니다:
- 교환 법칙의 부재: 행렬의 곱에서 \(\text{det}(AB) = \text{det}(A)\text{det}(B)\)이지만, \(\text{det}(A+B)\)는 \(\text{det}(A) + \text{det}(B)\)와 같지 않습니다.
- 전치 행렬: 행렬 \(A\)의 전치 행렬 \(A^T\)에 대해 \(\text{det}(A^T) = \text{det}(A)\)입니다.
- 역행렬: 가역 행렬 \(A\)에 대해 \(\text{det}(A^{-1}) = \frac{1}{\text{det}(A)}\)입니다.
6. 행렬식의 실제 응용
행렬식은 물리학, 공학, 컴퓨터 그래픽스 등 다양한 분야에서 응용됩니다. 예를 들어:
- 물리학: 물체의 회전과 변환을 나타내는 선형 변환에서 행렬식을 이용해 면적이나 부피 변화를 계산합니다.
- 컴퓨터 그래픽스: 3D 모델의 변형이나 회전에서 행렬식을 사용하여 왜곡 여부나 크기 변화를 파악할 수 있습니다.
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소행렬, 여인수 Cofactor 의 의미
원소 \(a_{ij}\)의 소행렬식 \(C_{ij}\) 는 다음과 같이 표현됩니다.
\[
C_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot \text{det}(M_{ij})
\]
여기서 \(M_{ij}\)는 원소 \(a_{ij}\)를 제외한 나머지 원소들로 이루어진 \((n-1) \times (n-1)\) 행렬입니다.
여인수(余因數)라는 용어는 한자어로 구성되어 있으며, 각 한자의 의미를 통해 이해할 수 있습니다.
한자 해석
1. 여(余): '여'는 '남다', '남겨두다', '여분의'라는 의미를 가집니다. 즉, 본래의 것에서 남겨진 것을 의미합니다.
2. 인(因): '인'은 '원인', '원인으로 하다'라는 뜻을 가지고 있습니다. 이 경우, 어떤 결과나 현상의 원인이 되는 것을 의미합니다.
3. 수(數): '수'는 '수치', '수량', '계산'의 의미를 가지고 있습니다. 즉, 수학적 개념이나 수량을 나타내는 것입니다.전체 의미
따라서 여인수라는 용어는 다음과 같은 의미를 지닙니다:
- "남겨진 원인" 또는 "남겨진 수치": 행렬의 특정 원소를 제외한 나머지 원소들로 구성된 소행렬의 행렬식에 대한 값으로, 전체 행렬식에 기여하는 요소를 의미합니다.비유적 이해
- 여인수는 전체 행렬에서 어떤 특정한 원소를 제거했을 때, 그 제거된 원소가 행렬식에 기여하는 방식으로 이해할 수 있습니다. 그래서 '여분의', 즉 남겨진 부분이 전체의 계산에 중요한 역할을 한다는 것을 내포하고 있습니다.
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소행렬식 전개, 여인수 전개 (cofactor expansion)
\(3 \times 3\) 행렬에서 소행렬식(cofactor expansion)을 계산할 때, 특정 행이나 열을 선택하여 계산할 수 있으며, 특정한 행(가로)이나 열(세로)에 제한은 없습니다. 즉, 소행렬식을 확장할 때 반드시 첫 번째 행(a, b, c)만을 선택할 필요는 없으며, 다른 행이나 열을 기준으로 선택할 수도 있습니다.
예를 들어, 행렬이 다음과 같다고 가정합시다:
\[
A = \begin{pmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i
\end{pmatrix}
\]
소행렬식 확장법은 특정 행이나 열을 선택한 후, 그 요소에 대응하는 소행렬식을 계산하고 부호를 맞추어 더하는 방식입니다.
따라서 첫 번째 열(a, d, g)을 기준으로 확장할 수도 있습니다.
1. 첫 번째 열(a, d, g)을 기준으로 확장
첫 번째 열의 값 \(a\), \(d\), \(g\)를 기준으로 확장하면 다음과 같습니다:
\[
\text{det}(A) = a \begin{vmatrix} e & f \\ h & i \end{vmatrix} - d \begin{vmatrix} b & c \\ h & i \end{vmatrix} + g \begin{vmatrix} b & c \\ e & f \end{vmatrix}
\]
여기서 소행렬식은 \(2 \times 2\) 행렬식으로 계산되며, 각각 다음과 같습니다:
+ \(a \cdot (ei - fh)\)
－ \(d \cdot (bi - ch)\)
+ \(g \cdot (bf - ce)\)
따라서:
\[
\text{det}(A) = a(ei - fh) - d(bi - ch) + g(bf - ce)
\]
이와 같이 첫 번째 열(a, d, g)을 기준으로 소행렬식을 확장할 수 있습니다.
* TIP : 어떤 행 / 어떤 열을 잡아도 되기 때문에, 가급적 0 이 많은 것을 선택하는 것이 좋습니다.
위 식에서 만약 d=g=0 이라면 3개 항중에서 뒤에 2개는 계산할 필요도 없이 0 이 되니까요.
2. 주의점: 부호 규칙
소행렬식 확장에서는 항상 부호 규칙에 주의해야 합니다. 부호 규칙은 선택한 행이나 열의 각 원소에 교대 부호(\(+, -, +\))를 적용하는 것입니다. 이 교대 부호는 다음과 같은 패턴을 따릅니다:
\[
\begin{pmatrix}
+ & - & + \\
- & + & - \\
+ & - & +
\end{pmatrix}
\]
따라서 첫 번째 열을 기준으로 확장할 때:
- \(a\)는 양의 부호를 가지며, \(a \cdot \text{det}(\text{소행렬})\),
- \(d\)는 음의 부호를 가지며, \(- d \cdot \text{det}(\text{소행렬})\),
- \(g\)는 양의 부호를 가집니다.
다른 행이나 열을 선택하더라도 부호 규칙에 맞게 소행렬식 확장을 적용해야 합니다.
3. 다른 행이나 열을 기준으로 확장 가능
다른 행이나 열을 기준으로도 소행렬식을 확장할 수 있습니다. 예를 들어:
- 두 번째 행(d, e, f)를 기준으로 확장할 수 있습니다.
- 세 번째 열(c, f, i)를 기준으로도 확장할 수 있습니다.
모든 경우 소행렬식의 값은 같지만, 계산 과정에서 사용하는 소행렬들이 달라지며, 부호 규칙을 반드시 고려해야 합니다.
결론
\(3 \times 3\) 행렬에서 행렬식을 계산할 때, 특정 행이나 열에 국한되지 않고 어떤 행이나 열을 기준으로 잡을 수 있습니다. 다만, 부호 규칙에 주의하며 소행렬식을 확장해야 합니다.