삼각함수, 쌍곡선함수 에서 각도가 복소수일 때?

삼각함수나 쌍곡선 함수에서 각도가 실수가 아닌 복소수일 때 계산하는 방법은 복소수의 성질과 관련된 공식들을 사용합니다.

복소수 각도 $z=x+iy$일 때, 삼각함수와 쌍곡선 함수는 실수 함수에서의 정의를 확장한 형태로 계산됩니다.

 

1. 복소수 삼각함수

복소수 $z=x+iy$에 대해 삼각함수는 다음과 같이 정의됩니다:

 

(1) 사인 함수 $\sin (z)$
$$\sin (z)=\sin (x+iy)=\sin (x)\cosh (y)+i\cos (x)\sinh (y)$$

(2) 코사인 함수 $\cos (z)$
$$\cos (z)=\cos (x+iy)=\cos (x)\cosh (y)-i\sin (x)\sinh (y)$$

(3) 탄젠트 함수 $\tan (z)$
$$\tan (z)=\frac{\sin (z)}{\cos (z)}=\frac{\sin (x+iy)}{\cos (x+iy)}$$
위의 공식을 사용하면 실수 부분과 허수 부분을 모두 포함한 형태로 계산할 수 있습니다.

 

 

2. 복소수 쌍곡선 함수

복소수 $z=x+iy$에 대해 쌍곡선 함수도 비슷하게 확장됩니다.

 

(1) 쌍곡선 사인 함수 $\sinh (z)$
$$\sinh (z)=\sinh (x+iy)=\sinh (x)\cos (y)+i\cosh (x)\sin (y)$$

(2) 쌍곡선 코사인 함수 $\cosh (z)$
$$\cosh (z)=\cosh (x+iy)=\cosh (x)\cos (y)+i\sinh (x)\sin (y)$$

(3) 쌍곡선 탄젠트 함수 $\tanh (z)$
$$\tanh (z)=\frac{\sinh (z)}{\cosh (z)}=\frac{\sinh (x+iy)}{\cosh (x+iy)}$$

 

 

계산 예시

만약 $z=1+i$인 경우, $\sin (1+i)$를 계산하면:
$$\sin (1+i)=\sin (1)\cosh (1)+i\cos (1)\sinh (1)$$
이 값을 수치적으로 계산할 수 있습니다.

 

이러한 방법을 이용해 복소수를 입력으로 받는 삼각함수 및 쌍곡선 함수를 계산할 수 있습니다.