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마르코프 체인, 마코브 체인, 마르코프 연쇄
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- 2024.10.24 - 20:00 2024.08.13 - 15:16 1600 2
위키피디아 펌 및 AI 설명 추가
https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%A7%88%EB%A5%B4%EC%BD%94%ED%94%84_%EC%97%B0%EC%87%84
확률론에서 마르코프 연쇄(Марков 連鎖, 영어: Markov chain)는 이산 시간 확률 과정이다.
마르코프 연쇄는 시간에 따른 계의 상태의 변화를 나타낸다. 매 시간마다 계는 상태를 바꾸거나 같은 상태를 유지한다. 상태의 변화를 전이라 한다. 마르코프 성질은 과거와 현재 상태가 주어졌을 때의 미래 상태의 조건부 확률 분포가 과거 상태와는 독립적으로 현재 상태에 의해서만 결정된다는 것을 뜻한다
정의
확률 공간(Probability Space) \( \Omega \)와 모든 집합이 가측 집합인 가측 공간(Measurable Space) \( E \)가 주어졌다고 하자.
그렇다면, 메모리(Memory) \( k \)의 마르코프 연쇄는 다음 성질을 만족시키는 일련의 확률 변수 \( X_1, X_2, \dots \colon \Omega \to E \)이다.
(가측공간은 주로 상태공간의 부분집합임)
만약 다음 식의 양변이 존재한다면,
\[
\Pr(X_{n} = x_{n} \mid X_{n-1} = x_{n-1}, \ldots, X_{1} = x_{1}) = \\
\Pr(X_{n} = x_{n} \mid X_{n-1} = x_{n-1}, \ldots, X_{n-K} = x_{n-K})
\]
이 경우, \( E \)를 메모리 \( k \)의 마르코프 연쇄 \( \{X_i\} \)의 상태 공간이라고 한다. 만약 메모리가 주어져 있지 않는 마르코프 연쇄는 메모리가 1인 마르코프 연쇄이다.
메모리가 1인 마르코프 연쇄는 과거의 상태가 알려져 있더라도 미래 상태의 조건부 기댓값에 영향을 미치지 않는 과정을 나타낸다. 이러한 성질을 마르코프 성질이라고 한다.
다음 성질을 만족시키는 마르코프 연쇄 \( X_i \colon \Omega \to E \)를 시간 동질 마르코프 연쇄라고 한다. 모든 \( i \in \mathbb{N} \), \( x, y \in E \)에 대하여,
\[
\Pr(X_{i+1} = x \mid X_{i} = y) = \Pr(X_{i} = x \mid X_{i-1} = y)
\]
다시 말해, 시간에 따라서 전이 확률은 변하지 않는다.
이와 유사하게, \( i \in \mathbb{N} \) 대신 실변수 \( t \in \mathbb{R} \)에 의존하는 경우도 정의할 수 있다. 이 경우를 연속 마르코프 과정이라고 한다.
예
ㄴ 유향 그래프로 나타낸 시간 동질 마르코프 연쇄의 예
상태 공간이 (모든 부분집합이 측도 가능한) 유한 집합이라고 하자. 이 경우, 시간 동질 마르코프 연쇄는 각 변에 0과 1 사이의 실수가 붙어 있는 유향 그래프로 표현된다. 이 경우 그래프는 다음과 같이 해석된다.
- 각 꼭짓점은 상태 공간의 원소에 대응된다.
- 상태 \( x_1 \in E \)에서 다른 상태 \( x_2 \in E \)로 가는 변은 정확히 하나가 있으며, 이 변에 붙어 있는 값은 \( \Pr(X_{n+1} = x_2 \mid X_n = x_1) \)이다. 만약 이 확률이 0이라면 변을 생략할 수 있다.
이러한 그래프를 상태 다이어그램 (영어: *state diagram*)이라고 한다.
행의 합이 1인 체인 vs 열의 합이 1인 체인?
일반적인 마르코프 체인 설명을 보면 열(세로축)의 합이 1인 것으로 설명합니다.
중고등학교 때 배웠던 행렬의 계산 과정과도 일치하구요.
그런데 아래 링크의 설명에서는 행(가로축)의 합이 1인 것을 설명합니다.
$$
Q=\left[\begin{array}{ccc}
1 / 3 & 2 / 3 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
1 / 4 & 1 / 2 & 1 / 4
\end{array}\right]
$$
전이 행렬 $Q$ 의 직관적인 의미는 '전체 마르코프 체인의 변화 추이'입니다. 쉽게 말해 전체 시스템이 어떤 상태로 존재할 확률에 대한 표현이라는 의미입니다. 따라서 전이 행렬의 각 row(혹은 col)의 합은 반드시 1이고, 모든 element는 0이상 1이하의 값을 갖습니다.
전이 행렬과 현재 상태를 안다면 전체 마르코프 체인의 상태값을 구할 수 있습니다.
현재 시점을 $n$, 상태 $X_n$ 이 분포 $s$ (1xM 행렬) 를 따른다고 하면,
$$
\begin{gathered}
P\left(X_{n+1}=j\right)=\sum_i P\left(X_{n+1}=j \mid X_n=i\right) P\left(X_n=i\right) \\
=\sum_i s_i \times q_{i j}=s Q
\end{gathered}
$$
$s_i$ 는 ( 1 xM ) 행렬이고, $q_{i j}$ 는 ( MxM ) 행렬이므로 위 연산의 결과는 ( 1 xM ) 행렬이 됩니다. 즉, $\mathrm{n}+1$ 시점의 전이 행렬은 $(1 \mathrm{xM})$ 크기의 $s Q$ 가 되는 것입니다. 그렇다면 $\mathrm{n}+2$ 시점은 어떨까요?
Claude 3.5 Sonnet
네, 전이 행렬에서 행(row)의 합이 1인 것과 열(column)의 합이 1인 것은 중요한 차이가 있습니다. 이 차이를 설명해 드리겠습니다:
- 행(Row)의 합이 1인 경우:
- 이는 일반적인 마르코프 체인의 전이 행렬을 나타냅니다.
- 각 행은 현재 상태에서 다른 모든 가능한 상태로 전이할 확률을 나타냅니다.
- 모든 가능한 전이의 확률 합은 1이어야 하므로, 각 행의 합이 1이 됩니다.
- 이를 "행 확률적(row stochastic)" 행렬이라고 합니다.
- 열(Column)의 합이 1인 경우:
- 이는 역방향 전이를 나타내는 행렬입니다.
- 각 열은 다른 모든 상태에서 현재 상태로 전이해 올 확률을 나타냅니다.
- 이를 "열 확률적(column stochastic)" 또는 "좌 확률적(left stochastic)" 행렬이라고 합니다.
- 이러한 행렬은 일부 특수한 경우에 사용됩니다 (예: 역방향 마르코프 과정).
주요 차이점:
- 해석: 행의 합이 1인 경우는 "현재 상태에서 다음 상태로의 전이"를 나타내고, 열의 합이 1인 경우는 "이전 상태에서 현재 상태로의 전이"를 나타냅니다.
- 사용: 일반적인 마르코프 체인에서는 행의 합이 1인 행렬을 주로 사용합니다.
- 계산: 행의 합이 1인 경우, 상태 벡터를 행렬의 왼쪽에 곱하여 다음 상태를 계산합니다. 열의 합이 1인 경우, 상태 벡터를 행렬의 오른쪽에 곱합니다.
결론적으로, 주어진 설명에서 "전이 행렬의 각 row의 합은 반드시 1"이라는 부분이 일반적인 마르코프 체인의 전이 행렬을 더 정확하게 설명하고 있습니다.
열이든 행이든 한쪽만 일관적으로 사용하면 문제가 없는데,
AI의 경우 두개를 짬뽕시켜서 답변하는 경우가 있습니다.
주의하세요.
기타 참고
https://www.puzzledata.com/blog190423/
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댓글2
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세상의모든계산기
A -> B -> C 단계로의 아이템 강화 설명
A상태에서 강화 시도
- A 유지 : A 70%
- B로 상승: B 30%B상태에서 강화 시도
- A로 하락 : 50%
- B 유지 : 30%
- C로 상승 : 20%C상태에서 강화 불가 : 흡수상태초기에 A상태=90개, B상태=10개 를 모두 강화할 때
다음상태는 A상태=68개, B상태=30개, C상태=2개 가 될 것으로 예측.
주어진 정보를 마르코프 체인의 관점에서 해석해보겠습니다.
- 상태 (States):
- A, B, C 세 가지 상태가 있습니다.
- 전이 행렬 (Transition Matrix): 첨부된 이미지의 왼쪽 행렬이 전이 행렬입니다.
\[
P = \begin{bmatrix}
0.7 & 0.5 & 0 \\
0.3 & 0.3 & 0 \\
0 & 0.2 & 1
\end{bmatrix} \]- $ P_{\textit{ij}} $는 상태 j에서 상태 i로 전이할 확률을 나타냅니다.
- 예: $ P_{\textit{11}} =0.7$ 은 A상태에서 A상태로 남을 확률이 70%임을 의미합니다.
- 초기 상태 벡터 (Initial State Vector):
\[
I_0 = \begin{bmatrix}
90 \\
10 \\
0
\end{bmatrix}
\]
90개가 A상태, 10개가 B상태에 있음을 나타냅니다. - 다음 상태 계산:
I₁ = P * I₀\[
I_1 = \begin{bmatrix}
0.70 & 0.50 & 0.00 \\
0.30 & 0.30 & 0.00 \\
0.00 & 0.20 & 1.00
\end{bmatrix}
\times
\begin{bmatrix}
90 \\
10 \\
0
\end{bmatrix}
\]계산해 보면:
\[
\begin{aligned}
I_1[1행] &= (0.70 \times 90) + (0.50 \times 10) + (0.00 \times 0) \\
&= 63 + 5 \\
&= 68 \\
\\
I_1[2행] &= (0.30 \times 90) + (0.30 \times 10) + (0.00 \times 0) \\
&= 27 + 3 \\
&= 30 \\
\\
I_1[3행] &= (0.00 \times 90) + (0.20 \times 10) + (1.00 \times 0) \\
&= 0 + 2 \\
&= 2
\end{aligned}
\] - 해석:
- 한 번의 전이 후, 68%가 A상태, 30%가 B상태, 2%가 C상태에 있게 됩니다.
- 이는 초기 100개 중 68개가 A상태, 30개가 B상태, 2개가 C상태가 될 것이라는 예측과 일치합니다.
- 특징:
- C상태는 흡수 상태(absorbing state)입니다. 한 번 C에 도달하면 빠져나올 수 없습니다.
- 시간이 지남에 따라 더 많은 항목들이 C상태로 이동할 것입니다.
이 마르코프 체인 모델은 각 강화 시도가 독립적이며, 다음 상태가 오직 현재 상태에만 의존한다는 가정을 바탕으로 합니다. 이를 통해 시스템의 미래 상태를 예측하고 분석할 수 있습니다.
- 상태 (States):
세상의모든계산기 님의 최근 댓글
- claude AI는 l-c*r^2 을 1-c*r^2 으로 잘못 읽고 표시하고 있습니다. - TI-nspire CAS 계산기에 l-c*r^2 ≥0 을 조건에 추가해 계산해 보아도 결과는 바뀌지 않습니다. 2026 07.20 ⚠️ 경고가 바로 두 번째 방법이 "성공"한 이유와 정확히 연결되어 있습니다. 경고의 의미 "Domain of the result might be larger than the domain of the input"는 CAS가 절댓값(모듈러스)을 계산하는 과정에서 원래 식보다 정의역이 더 넓은 형태로 단순화했다는 뜻입니다. 구체적으로 이 계산은 내부적으로 대략 이런 과정을 거칩니다. $$\left|\frac{er}{e\cdot r}\right| = \sqrt{\left(\frac{er}{e\cdot r}\right)\cdot\overline{\left(\frac{er}{e\cdot r}\right)}}$$ 즉 원래 식(복소수)과 그 켤레복소수를 곱해서 실수부·허수부 제곱합을 만들고, 거기에 다시 제곱근을 씌우는 과정입니다. 이 과정에서 √(x²) → x 또는 √a·√b → √(ab) 같은 규칙들이 쓰이는데, 이런 규칙들은 x가 실수이고 0 이상일 때만 엄밀하게 성립합니다. CAS는 이 조건들을 일일이 다 추적하지 않고 넘어가면서, 원래는 (e≠0, r+l·ω·i ≠ 0 등) 복소수 특유의 좁은 정의역을 가진 식을, r, l, ω가 어떤 실수여도(부호 무관하게) 정의되는 1/√(r²+l²·ω²)라는 더 넓은 정의역의 식으로 바꿔버린 것입니다. CAS는 이 손실을 감지하고 경고를 띄운 것입니다. 이게 왜 조건 대입 성공과 연결되는가 정리하면, 이 경고는 사실상 이런 뜻입니다. "나는 이 결과를 만들면서 원래 식이 가지고 있던 정의역 제약 정보(부호 조건, i 관련 조건 등)를 이미 버렸다." 바로 이 "정의역 정보를 버린" 상태가 이후 con_1 대입을 매끄럽게 만드는 원인입니다. 첫 번째 시도에서는 i가 살아있는 원래 식에 조건을 대입했기 때문에, CAS가 √(1-c·r²)이 실수인지(정의역 조건: 1-c·r² ≥ 0) 계속 추적하려고 했고, 그 정보가 con에 없어서 더 이상 정리를 못 하고 멈췄습니다. 두 번째 시도에서는 절댓값 계산 단계에서 이미 그런 세밀한 정의역 추적을 CAS 스스로 포기(단순화)했기 때문에, 이후 ω에 무리식을 대입해도 "이게 실수가 맞나?" 하는 검증 절차 없이 그냥 대수적으로 치환·정리해 버립니다. 그래서 깔끔하게 √c/√l이 나온 겁니다. 한 줄 요약 절댓값 계산 시 뜬 "정의역이 넓어졌을 수 있다"는 경고는, CAS가 그 순간에 원래 식의 엄밀한 조건(정의역)을 놓쳤다는 신호이고, 바로 그 "조건을 놓친 상태"이기 때문에 뒤에 이어지는 조건식 대입이 막힘없이 진행된 것입니다. 다만 그 대가로, 결과인 1/√(r²+l²·ω²)이나 최종 √c/√l이 원래 회로 조건(i≠0이 되는 경계, 분모가 0이 되는 경우 등)에서는 엄밀히 성립하지 않을 수 있다는 점은 감안하셔야 합니다. 실제 물리적으로는 r, l, c > 0이고 결과도 물리적으로 타당한 형태라 문제없어 보이지만, 수학적 엄밀성 측면에서는 "정의역이 넓어진 근사적 결과"라는 꼬리표가 붙어있는 셈입니다. 2026 07.20 Claude AI 답변 TI-Nspire CAS의 | (such that / 조건대입) 연산자는 대입 시점의 수식 형태를 그대로 두고 기호만 치환하는 연산입니다. 대입 후에 처음부터 다시 "실수부/허수부 분리, 유리화" 같은 재간소화를 자동으로 수행하지 않습니다. 이 차이가 지금 보신 결과 차이의 핵심입니다. 첫 번째 경우 (|er/(e·r)| | con_1 and con → 실패) 이 시점의 식은 아직 r + l·ω·i 형태의 복소수 그대로입니다 (i가 살아있음). 여기에 con_1: ω = √(1-c·r²)/(√c·l)을 대입하면, 분모 안에 i · √(1-c·r²) 라는 항이 새로 생깁니다. 문제는 CAS가 √(1-c·r²)이 실수인지(즉 1-c·r² ≥ 0인지) 판단할 근거가 없다는 겁니다. 저장해 두신 con 조건은 c>0, l>0, r>0뿐이고, 1-c·r²≥0이라는 조건은 포함되어 있지 않습니다. 그래서 CAS는 i와 이 무리식을 더 정리(유리화, 실수부·허수부 재결합)하지 못하고 있는 그대로 남겨둡니다. 결과에 여전히 i가 보이는 이유입니다. 두 번째 경우 (결과값 1/√(r²+l²·ω²)에 대입 → 성공) |er/(e·r)| (절댓값/모듈러스) 연산은 그 자체로 이미 "복소수 → 실수" 변환을 완료한 결과입니다. 즉 1/√(r²+l²·ω²)에는 더 이상 i가 없고, 순수하게 r, l, ω로만 이루어진 실수식입니다. 이 식에 ω = con_1을 대입하는 것은 그냥 실수 대수식에 실수 대입하는 것이므로, i와 무리식이 뒤엉키는 문제 자체가 발생하지 않습니다. 그래서 바로 깔끔하게 √c/√l로 정리됩니다. 정리하면 절댓값(모듈러스) 계산은 "이 값들이 실수다"라는 가정을 이미 내부적으로 써서 i를 제거하는 연산입니다. 그 연산을 조건 대입 이전에 해두면, 이후 대입은 단순 실수 대입이라 문제없이 정리됩니다. 반대로 i가 남아있는 식에 무리식을 포함한 조건을 먼저 대입하면, 그 무리식의 실수성/부호에 대한 가정이 없어서 CAS가 i를 소거하는 재간소화를 못 하고 멈춰버립니다. 실용적 팁: 복소식에 조건을 대입해야 할 때는 가능하면 절댓값·실수화(유리화) 등을 먼저 끝내서 i를 없앤 뒤 조건을 대입하거나, 대입 후 결과에 다시 simplify/expand/combine 같은 명령을 한 번 더 걸어주면 (필요한 도메인 조건과 함께) 정리가 되는 경우가 많습니다. 2026 07.19 저도 어림잡아 추측할 뿐이지 정확한 이유를 알지는 못합니다. 질문하신 사진을 그대로 (Gemini 3.5 Flash / ChatGPT / Claude Sonnet 5) AI에 넣어 보니 claude AI 가 제일 합리적인 답변을 주어서 이를 붙여 넣습니다. 2026 07.19 아 그렇네요. 감사합니다. ^^ 2026 04.28