- 세상의 모든 계산기 수학, 과학, 공학 이야기 공학 ()
[문제] 점성유체 - 전단력이 0이 되는 지점의 높이는?
-
- 2024.07.22 - 14:41 2024.07.20 - 16:54 253 2
문제:
바닥으로부터 높이 \( y \)(m)일 때 유속이 \( v(y) = -2y^2 + 4y\) (m/s)인 점성유체가 흐르고 있습니다.
이 유체의 전단력이 0이 되는 지점까지의 높이는 얼마입니까?
1. \( 1 \)
2. \( 2 \)
3. \( 3 \)
4. \( 4 \)
해설:
유속이 \( v(y) = -2y^2 + 4y \)로 주어졌을 때, 전단력은 유체의 점성에 의한 힘으로, 뉴턴의 점성 법칙에 의해 다음과 같이 주어집니다:
\[ \tau = \mu \frac{dv}{dy} \]
여기서 \( \mu \)는 유체의 점성계수입니다.
유속 분포에 따라 \( \frac{dv}{dy} \)를 구하면:
\[ \frac{dv}{dy} = \frac{d}{dy} \left( -2y^2 + 4y \right) = -4y + 4 \]
전단력이 0이 되는 지점을 찾기 위해 \( \tau = 0 \)이 되는 \( y \)값을 찾습니다:
\[ \tau = \mu \left( -4y + 4 \right) \]
\[ 0 = \mu \left( -4y + 4 \right) \]
점성계수 \( \mu \)가 0이 아니므로:
\[ -4y + 4 = 0 \]
\[ 4y = 4 \]
\[ y = 1 \]
따라서 전단력이 0이 되는 지점의 높이는 \( y = 1 \)입니다.
정답은 1번, \( 1 \)입니다.
점성유체 (Viscous fluid) :
점성유체는 흐름에 대한 내부 저항을 가진 유체를 말합니다. 이러한 유체는 움직일 때 마찰력이 발생하며, 이로 인해 에너지가 소산됩니다. 점성의 정도는 유체마다 다르며, 점성이 높을수록 유체의 흐름에 대한 저항이 커집니다.
주요 특징:
- 흐름에 대한 내부 저항 존재
- 층류 흐름에서 속도 구배 발생
- 점성으로 인한 에너지 손실
예시: 꿀, 오일, 물 등
전단력 (Shear force) :
전단력은 물체의 한 부분을 다른 부분에 대해 평행하게 미끄러지게 하는 힘입니다. 유체 역학에서 전단력은 유체 층 사이에 작용하는 힘으로, 점성유체의 흐름을 이해하는 데 중요한 개념입니다.
주요 특징:
- 물체나 유체의 표면에 평행하게 작용
- 유체의 변형률과 관련됨
- 점성유체의 흐름에서 중요한 역할
점성유체와 전단력은 밀접한 관련이 있습니다. 점성유체가 흐를 때, 유체 층 사이에 속도 차이가 발생하며, 이로 인해 전단력이 생깁니다. 이 전단력은 유체의 흐름을 방해하고 에너지를 소산시키는 역할을 합니다.
-
25
댓글2
-
세상의모든계산기
유속과 전단력을 그래프로 나타내려면,
먼저 주어진 유속 함수 \( v(y) = -2y^2 + 4y \)와 전단력 \( \tau = \mu \left( -4y + 4 \right) \)를 그래프로 표현하면 됩니다.
여기서 전단력은 점성계수 \( \mu \)에 비례합니다.
import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # Define the height range y = np.linspace(0, 4, 400) # Define the velocity function v = -2 * y**2 + 4 * y # Define the shear stress function (assuming mu = 1 for simplicity) mu = 1 tau = mu * (-4 * y + 4) # Plot the velocity profile plt.figure(figsize=(12, 6)) plt.subplot(1, 2, 1) plt.plot(y, v, label='Velocity (v)') plt.axhline(0, color='gray', linewidth=0.5, linestyle='--') plt.axvline(1, color='red', linewidth=0.5, linestyle='--', label='Shear stress = 0 at y=1') plt.title('Velocity Profile') plt.xlabel('Height (y)') plt.ylabel('Velocity (v)') plt.legend() plt.grid(True) # Plot the shear stress profile plt.subplot(1, 2, 2) plt.plot(y, tau, label='Shear Stress (τ)', color='orange') plt.axhline(0, color='gray', linewidth=0.5, linestyle='--') plt.axvline(1, color='red', linewidth=0.5, linestyle='--', label='Shear stress = 0 at y=1') plt.title('Shear Stress Profile') plt.xlabel('Height (y)') plt.ylabel('Shear Stress (τ)') plt.legend() plt.grid(True) plt.tight_layout() plt.show()위 코드는 다음과 같이 작동합니다:
1. \( y \)의 범위를 0에서 4까지 정의합니다.
2. 주어진 유속 함수 \( v(y) = -2y^2 + 4y \)를 계산합니다.
3. 전단력 함수 \( \tau = \mu (-4y + 4) \)를 계산합니다. 여기서 \( \mu = 1 \)로 가정합니다.
4. 두 개의 서브플롯을 만들어 유속 프로파일과 전단력 프로파일을 각각 그래프로 그립니다.위의 코드를 실행하면 유속과 전단력의 그래프가 나타납니다. 유속 그래프에서는 포물선 형태의 곡선을 볼 수 있으며, 전단력 그래프에서는 직선의 기울기가 -4인 그래프를 볼 수 있습니다.
이제 이 코드를 실행해 보겠습니다.
위 그래프는 주어진 조건에 따른 유속과 전단력을 나타낸 것입니다.
1. **유속 프로파일** (왼쪽 그래프):
- 유속 함수 \( v(y) = -2y^2 + 4y \)는 포물선 형태를 띠며, \( y = 1 \)에서 최대값을 가집니다.
- \( y = 0 \) 및 \( y = 2 \)에서 유속은 0이 됩니다.2. **전단력 프로파일** (오른쪽 그래프):
- 전단력 함수 \( \tau = \mu (-4y + 4) \)는 기울기가 -4인 직선입니다.
- \( y = 1 \)에서 전단력이 0이 됩니다.이 그래프를 통해 유속이 최대가 되는 지점과 전단력이 0이 되는 지점을 명확하게 확인할 수 있습니다.
-
세상의모든계산기
fx-570 ES 의 solve 로 구할 수 없는지?
fx-570 ES 와 같은 보급형 공학용 계산기에서는 solve 기능 내에서 미분(계수)처리를 할 수 없습니다.
따라서 solve 기능으로 답을 찾을 수는 없습니다.
로 템플릿 불러오고 수식과 x=1 부분 완성.이런 식으로 x=1, x=2, x=3, x=4
모두 대입해 보고 0이 나오는지 확인하는 방법은 있습니다.
미분하는 것보다는 느리겠죠?
세상의모든계산기 님의 최근 댓글
수치해석 방법 method 를 강제로 선택할 수 있으면 좋을텐데... 위의 스샷을 보면 되는 듯 하면서도 아래 스샷을 보면 안되는 것 같기도 합니다. solve(Expr,[Var]) csolve(LstEq,LstVar) nSolve(Expr,Var,[Guess or Interval],[Method]) deSolve(Eq,[TimeVar],FncVar) linsolve(LstLinEq,LstVar) fsolve(Expr,Var,[Guess or Interval],[Method]) 2025 10.17 종합해서 답변을 드리면 HP Prime 에 solve 에서 변수명에 구간을 입력하면 수치해석 방식으로 bisection 을 사용함. 이 bisection 방식은 해의 좌-우 부호가 서로 바뀌어야만 해를 인식하고 해의 좌-우 부호가 같으면 해를 인식하지 못합니다. 이 때문에 본문 sin 의 예나 아래 사진의 예에서는 해를 인식하지 못하는 것으로 보입니다. 2025 10.17 Gemini-2.5-pro 답변 ✦ 현대 컴퓨터 대수 시스템(CAS) 계산기에 탑재된 solve 기능의 일반적인 내부 동작 원리에 대해 설명해 드리겠습니다. 현대 CAS의 solve 기능은 단순히 하나의 알고리즘으로 작동하는 것이 아니라, 마치 '순수 수학자'와 '문제 해결 공학자'가 협력하는 것처럼, 여러 단계에 걸친 정교한 '하이브리드(Hybrid)' 방식으로 동작합니다. solve 함수의 작동 과정 1단계: 기호적 해법 (Symbolic Solver) - '순수 수학자'의 접근 계산기는 가장 먼저 방정식을 대수적으로, 즉 정확한 수학적 해를 찾으려고 시도합니다. 이 단계는 마치 사람이 공식을 이용해 문제를 푸는 과정과 같습니다. 1. 방정식 분석: solve 명령을 받으면, 시스템은 먼저 입력된 방정식의 구조를 분석합니다. (예: 이것이 다항식인가? 삼각방정식인가? 로그방정식인가?) 2. 규칙 기반 풀이: 분석된 구조에 따라, 시스템은 내장된 방대한 수학 규칙 라이브러리를 적용합니다. * 선형/이차 방정식: ax+b=c 나 ax²+bx+c=0 같은 형태는 이항, 인수분해, 근의 공식 등을 이용해 즉시 풉니다. * 고차 다항식: 인수분해, 조립제법 등의 규칙을 적용하여 유리수 해를 찾습니다. * 삼각방정식: sin(x) = 0.5 와 같은 경우, x = nπ + (-1)ⁿ * (π/6) 와 같이 주기성을 고려한 일반해 공식을 적용합니다. * 기타: 로그, 지수 법칙 등 해당 방정식에 맞는 대수적 풀이법을 총동원합니다. 3. 결과: 이 단계에서 해를 찾으면, 1.414... 와 같은 근사값이 아닌 √2 나 π/3 와 같은 정확한 기호 형태의 해를 반환합니다. > 강점: 수학적으로 완벽하고 정확한 해를 제공합니다. > 한계: 대수적인 풀이법이 알려져 있지 않은 방정식(예: cos(x) = x 또는 eˣ = x+2)은 풀 수 없습니다. --- 2단계: 수치적 해법 (Numerical Solver) - '문제 해결 공학자'의 접근 만약 1단계의 '순수 수학자'가 "이건 공식으로 풀 수 없어"라고 결론 내리면, solve 기능은 포기하지 않고 2단계인 '문제 해결 공학자'에게 문제를 넘깁니다. 이 단계의 목표는 정확한 해는 아니더라도, 매우 정밀한 근사해를 찾는 것입니다. 1. 반복적 탐색: 수치적 해법은 방정식을 직접 푸는 것이 아니라, 해가 있을 만한 지점에서부터 시작하여 반복적인 계산을 통해 해에 점점 더 가까워지는 방식을 사용합니다. * 적당한 값을 추측해서 대입해 봅니다. * 결과가 0보다 큰지 작은지에 따라, 다음 추측값을 어느 방향으로 수정할지 결정합니다. * 이 과정을 수없이 반복하여 오차가 거의 0에 가까워질 때까지 해를 좁혀나갑니다. 2. 핵심 알고리즘: 이때 사용되는 대표적인 알고리즘은 다음과 같습니다. * 뉴턴-랩슨법 (Newton-Raphson Method): 미분(접선)을 이용하여 매우 빠른 속도로 해에 수렴하는 강력한 방법입니다. * 이분법 (Bisection Method): 해가 존재하는 특정 구간을 계속 절반으로 나누어 범위를 좁혀나가는 방식으로, 속도는 느리지만 안정적으로 해를 찾을 수 있습니다. 3. 결과: 이 단계가 성공하면, 시스템은 0.739085133215 와 같이 소수점 아래 여러 자리까지 표현되는 매우 정밀한 부동소수점 형태의 근사해를 반환합니다. > 강점: 대수적으로 풀 수 없는 복잡한 방정식의 해도 근사적으로 찾아낼 수 있습니다. > 한계: 근사해이며, 알고리즘의 특성상 특정 조건(예: 해가 중근을 갖는 경우)에서는 해를 찾지 못하고 실패할 수도 있습니다. 결론: 왜 하이브리드 방식인가? 분석 → 기호적 풀이 시도 → (실패 또는 불가능 시) → 수치적 풀이로 전환 이처럼 현대 CAS의 solve 기능은 정확성(기호적 해법)과 범용성(수치적 해법)이라는 두 마리 토끼를 모두 잡기 위해 설계된 정교한 협력 시스템입니다. 먼저 가장 이상적인 '정확한 해'를 추구하되, 그것이 불가능할 경우 차선책으로 '정밀한 근사해'라도 찾아내어 사용자에게 최대한의 결과를 제공하는 것입니다. 2025 10.17 hp prime 이 solve 함수에서 해를 찾는데 어떤 방법(method)을 사용하는지 공식적인 무서로 정확하게 파악되진 않습니다. 2025 10.17 참고 x=guess 는 iterative 방식(일반적으로는 newton's method를 의미함)을 x=xmin .. xmax 는 bisection 방식을 사용하는 듯 합니다. // 구간지정 개념과는 차이가 있는 듯? 2025 10.17