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[TI-nspire] 푸리에 급수, 그래프로 확인하기 - 예제 #2
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- *.40.137.167
- 2024.11.12 - 11:11 2024.11.12 - 10:20 10 4
문제
주어진 함수 \( f(x) \)를 \(-π < x < π\) 구간에서 푸리에 급수로 표현하세요.
\[
f(x) =
\begin{cases}
-1, & -π < x < 0 \\
0, & x=0 \\
1, & 0 < x < π
\end{cases}
\]
함수 정의
이 함수 \( f(x) \)는 \(-π < x < π\)에서 정의되어 있으며, 주기 \( T = 2π \)를 가지도록 주기적으로 확장된다고 가정합니다. 즉, \( f(x + 2π) = f(x) \)입니다.
목표
1. 함수 \( f(x) \)의 푸리에 급수를 계산하세요.
2. 푸리에 급수의 일반항을 구하고, 그 결과를 적어도 첫 몇 개의 항으로 나타내세요.
풀이 힌트
1. 주기 \( T = 2π \) 이므로, 기본 각주기는 \( \omega_0 = \frac{2\pi}{T} = 1 \) 입니다.
2. 함수 \( f(x) \)는 구간 \(-π < x < π\) 에서 정의되어 있으므로, 이 구간에서 푸리에 급수의 계수를 \( a_n \), \( b_n \) 계산해야 합니다.
푸리에 급수의 일반적인 표현은 다음과 같습니다:
\[
f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos(n \pi x) + b_n \sin(n \pi x) \right)
\]
여기서:
- \( a_0 \)는 상수항,
- \( a_n \)과 \( b_n \)은 각각 코사인 및 사인 항의 계수로, 다음과 같이 정의됩니다:
\[
a_0 = \frac{1}{T} \int_{-π}^{π} f(x) \, dx
\]
\[
a_n = \frac{2}{T} \int_{-π}^{π} f(x) \cos(n \cdot x) \, dx
\]
\[
b_n = \frac{2}{T} \int_{-π}^{π} f(x) \sin(n \cdot x) \, dx
\]
각각의 계수를 구한 후, 푸리에 급수를 완성해 보세요.
댓글 4
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2. 상수항(a₀) / 계수(an, bn) - 일반항 정의
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3. 몇개 항의 나열
@n1 = 짝수 일 때, 0
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4. 항의 분해
@n1=3 일 때 푸리에 급수는 2개의 sin 항으로 구성되는데,
2개의 항을 각각 분해해서 보면 아래 그래프와 같음.
첫번째 항(@n1=1)은 제일 큰 덩어리 (최대값 / 최소값이 가장 큼) 이지만 변화가 적어서 부분부분의 오차가 큼.
두번째 항(@n1=3)은 앞 덩어리에서 가장 오차가 큰 구간을 반대로 보정하는 효과가 있음.
⇒ 오차 부호가 바뀌지만, 오차 크기는 줄어 듦.
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비교 : 예제 #1
https://allcalc.org/52215
1+x, -1＜x＜0
1-x, 0≤x＜1
1, -π＜x＜0
0, x=0
-1, 0≤x＜π