[TI-nspire] 푸리에 급수, 내장함수 & 그래프로 확인하기 - 예제 #2
-
- 2024.11.15 - 22:35 2024.11.12 - 10:20 254 4
문제
주어진 함수 \( f(x) \)를 \(-π < x < π\) 구간에서 푸리에 급수로 표현하세요.
\[
f(x) =
\begin{cases}
-1, & -π < x < 0 \\
0, & x=0 \\
1, & 0 < x < π
\end{cases}
\]
함수 정의
이 함수 \( f(x) \)는 \(-π < x < π\)에서 정의되어 있으며, 주기 \( T = 2π \)를 가지도록 주기적으로 확장된다고 가정합니다. 즉, \( f(x + 2π) = f(x) \)입니다.
목표
1. 함수 \( f(x) \)의 푸리에 급수를 계산하세요.
2. 푸리에 급수의 일반항을 구하고, 그 결과를 적어도 첫 몇 개의 항으로 나타내세요.
풀이 힌트
1. 주기 \( T = 2π \) 이므로, 기본 각주기는 \( \omega_0 = \frac{2\pi}{T} = 1 \) 입니다.
2. 함수 \( f(x) \)는 구간 \(-π < x < π\) 에서 정의되어 있으므로, 이 구간에서 푸리에 급수의 계수를 \( a_n \), \( b_n \) 계산해야 합니다.
푸리에 급수의 일반적인 표현은 다음과 같습니다:
\[
f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos(n \pi x) + b_n \sin(n \pi x) \right)
\]
여기서:
- \( a_0 \)는 상수항,
- \( a_n \)과 \( b_n \)은 각각 코사인 및 사인 항의 계수로, 다음과 같이 정의됩니다:
\[
a_0 = \frac{1}{T} \int_{-π}^{π} f(x) \, dx
\]
\[
a_n = \frac{2}{T} \int_{-π}^{π} f(x) \cos(n \cdot x) \, dx
\]
\[
b_n = \frac{2}{T} \int_{-π}^{π} f(x) \sin(n \cdot x) \, dx
\]
각각의 계수를 구한 후, 푸리에 급수를 완성해 보세요.
-
25
세상의모든계산기 님의 최근 댓글
[공학용 계산기] 빼기 기호 【－】 와 음수 기호 【(-)】 의 구분 https://allcalc.org/5876 2025 10.26 [BA II PLUS] 로 입력해 보니 [EL-738XT] 과 달리 【+|-】 버튼을 이용하든 【－】버튼을 이용하든 앞에 입력된 항목값은 음수 입력에 영향을 주지 않네요. 2025 10.26 오류 발생 https://www.youtube.com/watch?v=dcg0x5SjETY 위 영상의 문제의 함수를 직접 구해 보았습니다. 그래프로는 잘 확인이 되는데... fmin(), fmax() 함수로 직접 구해보니, 결과가 기대한 것과 다르네요. 구간을 넣지 않으니 fmim, fmax 둘 다에서 오류인 결과를 내놓습니다. 구간을 넣더라도, 적절하게 넣지 않으면, 답이 잘 안나오는 걸 확인할 수 있습니다. fmin 은 그나마 x=0을 기준으로 나누지 않더라도 답이 나오는 편이지만, fmax 는 -10~10 을 구간으로 넣을 때, 가운데 x=0 근방에서 그래프가 위로 솟아오르는 구간은 함수값을 확인하지 않는 듯 합니다. ㄴ fmax가 더 열등해서 그런 것은 아니고, 뒤집어진 모양에서는 반대로 fmin이 못찾습니다. 구간 범위가 커질 경우, 함수에 적용하여 계산하다가 숫자 허용 한계를 벗어나서 overflow 가 나서 오류가 발생할 수도 있는 듯 합니다. 뒤에 점을 넣으니 경고 문구가 추가로 나오긴 했는데, ⚠️ Questionable accuracy. When applicable, try using graphical methods to verify the results. 그래도 실망이네요. * 믿음직한 녀석은 아닌 듯 하니, 주의 표시 ⚠️가 나오든 안나오든, 사용에 주의하시기 바랍니다. 가급적이면 그래프로 검증해 보시는게 좋겠습니다. 2025 10.26 예시 8-1 : 분수식 solve시 오류 예시, 분모에 들어간 X³을 X로 치환해 해결? https://allcalc.org/56074 2025 10.25 fx-570 CW 는 아래 링크에서 https://allcalc.org/56026 2025 10.24