각 변의 함수(Parametric)식 입력 방법

 

1. `Graphs & Geometry` 애플리케이션을 엽니다.

2. `Menu` 버튼을 누르고, `3D Graphing`을 선택합니다.

3. `Menu` -> `Entry/Edit` -> `Parametric`을 선택합니다.

4. 각 변의 식을 순서대로 입력합니다:
   - 첫 번째 변: \( x(t) = 1 \), \( y(t) = 1 - 2t \), \( z(t) = 1 - 2t \)
   - 두 번째 변: \( x(t) = 1 - 2t \), \( y(t) = 1 \), \( z(t) = 1 - 2t \)
   - 세 번째 변: \( x(t) = 1 - 2t \), \( y(t) = 1 - 2t \), \( z(t) = 1 \)
   - 네 번째 변: \( x(t) = 1 - 2t \), \( y(t) = -1 + 2t \), \( z(t) = -1 \)
   - 다섯 번째 변: \( x(t) = 1 - 2t \), \( y(t) = -1 \), \( z(t) = -1 + 2t \)
   - 여섯 번째 변: \( x(t) = -1 \), \( y(t) = 1 - 2t \), \( z(t) = -1 + 2t \)

 

이렇게 하면 정사면체의 모든 변을 3D 그래프에 그릴 수 있습니다. 각 변이 제대로 그려지면 정사면체의 구조가 완성됩니다.

 

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두 점 사이의 거리

 

각 점을 A, B, C, D 라고 하면 벡터로 표현할 수 있고, 

두 점 사이의 거리 = 정사면체 한변의 길이를 간단하게 구할 수 있습니다. 

 

정사면체의 한 변의 길이를 계산하기 위해 두 꼭짓점 사이의 거리를 구하면 됩니다.

여기서는 주어진 꼭짓점 \(A(1, 1, 1)\)과 \(B(1, -1, -1)\) 사이의 거리를 계산해 보겠습니다.

두 점 \((x_1, y_1, z_1)\)과 \((x_2, y_2, z_2)\) 사이의 거리는 다음과 같이 계산됩니다:

\[ \text{거리} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \]

여기서,
- \(A(1, 1, 1)\)
- \(B(1, -1, -1)\)

거리를 계산하면:

\[ \text{거리} = \sqrt{(1 - 1)^2 + (-1 - 1)^2 + (-1 - 1)^2} \]
\[ \text{거리} = \sqrt{0 + (-2)^2 + (-2)^2} \]
\[ \text{거리} = \sqrt{0 + 4 + 4} \]
\[ \text{거리} = \sqrt{8} \]
\[ \text{거리} = 2\sqrt{2} \]

따라서, 이 정사면체의 한 변의 길이는 \(2\sqrt{2}\)입니다.

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두 면 사이의 각도

 

두 면 사이의 각도는 두점 A, B의 중심점인 E와, 나머지 두 점 C, D 가 이루는 각도를 구하면 된다.

세 점 \( C \), \( E \), \( D \)를 연결한 선분이 이루는 각도를 구하기 위해 벡터를 사용해야 합니다. 먼저 점 \( E \)의 좌표를 구한 후, 벡터 \( \vec{CE} \)와 \( \vec{ED} \)를 구하고, 이 두 벡터 사이의 각도를 구할 수 있습니다.

### 점 \( E \)의 좌표
점 \( E \)는 \( A \)와 \( B \)의 중점이므로, \( E \)의 좌표는 다음과 같이 계산됩니다:
- \( A(1, 1, 1) \)
- \( B(1, -1, -1) \)

\[ E = \left( \frac{1+1}{2}, \frac{1+(-1)}{2}, \frac{1+(-1)}{2} \right) = (1, 0, 0) \]

### 벡터 \( \vec{CE} \)와 \( \vec{ED} \) 구하기
- \( C(-1, 1, -1) \)
- \( D(-1, -1, 1) \)
- \( E(1, 0, 0) \)

벡터 \( \vec{CE} \):
\[ \vec{CE} = E - C = (1 - (-1), 0 - 1, 0 - (-1)) = (2, -1, 1) \]

벡터 \( \vec{ED} \):
\[ \vec{ED} = D - E = (-1 - 1, -1 - 0, 1 - 0) = (-2, -1, 1) \]

### 두 벡터 사이의 각도 구하기
벡터 \( \vec{CE} \)와 \( \vec{ED} \) 사이의 각도 \( \theta \)는 다음 공식을 사용하여 구할 수 있습니다:

\[ \cos \theta = \frac{\vec{CE} \cdot \vec{ED}}{|\vec{CE}| |\vec{ED}|} \]

내적 \( \vec{CE} \cdot \vec{ED} \):
\[ \vec{CE} \cdot \vec{ED} = (2)(-2) + (-1)(-1) + (1)(1) = -4 + 1 + 1 = -2 \]

벡터 \( \vec{CE} \)의 크기 \( |\vec{CE}| \):
\[ |\vec{CE}| = \sqrt{(2)^2 + (-1)^2 + (1)^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6} \]

벡터 \( \vec{ED} \)의 크기 \( |\vec{ED}| \):
\[ |\vec{ED}| = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 + (1)^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6} \]

따라서,
\[ \cos \theta = \frac{-2}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} \]

\[
\theta = \cos^{-1}\left( -\frac{1}{3} \right)
\]

이를 계산하면:

\[
\theta \approx 109.47^\circ
\]

따라서, 세 점 \( C \), \( E \), \( D \)를 연결한 선분이 이루는 각도는 약 \( 109.47^\circ \)입니다.

벡터 \( \vec{CE} \)와 \( \vec{DE} \) 사이의 각도 \( \theta \) 는 180 - 109.47 = 70.53