직교 좌표계 vs 극좌표계의 시각적 비교

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직교 좌표계 vs 극좌표계의 시각적 비교

- 세상의모든계산기
  *.40.137.167
- 2024.10.30 - 15:37 2024.10.27 - 18:21 353 4

1. 두 개의 극좌표 함수가 있습니다.

r(θ) = 1

r(θ) = 1 - cos(θ)

2. 직교좌표계에서 표시.

Rectangular Coordinate = 카르테시안 좌표계 Cartesian coordinate system

각 축이 서로 수직(직각)으로 만남.

각 축의 값이 커지거나 작아지는 것은 일직선 위에서 발생

3. 극좌표계에서 표시

Polar Coordinate

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
 
# t의 범위 설정 (0부터 2π까지)
t = np.linspace(0, 2 * np.pi, 100)
 
# 극좌표 함수 정의
r1 = np.ones_like(t)  # r(t) = 1
r2 = 1 - np.cos(t)    # r(t) = 1 - cos(t)
 
# 극좌표 그래프 그리기
fig = plt.figure(figsize=(12, 6))
 
# r(t) = 1 그래프
ax1 = fig.add_subplot(121, projection='polar')
ax1.plot(t, r1, label='r(t) = 1', color='b')
ax1.fill(t, r1, color='blue', alpha=0.2)  # 그래프 아래 영역 채우기
ax1.set_title('Polar Plot of r(t) = 1', va='bottom')
ax1.set_ylim(0, 2)  # 반지름 범위 설정
ax1.legend()
 
# r(t) = 1 - cos(t) 그래프
ax2 = fig.add_subplot(122, projection='polar')
ax2.plot(t, r2, label='r(t) = 1 - cos(t)', color='r')
ax2.fill(t, r2, color='red', alpha=0.2)  # 그래프 아래 영역 채우기
ax2.set_title('Polar Plot of r(t) = 1 - cos(t)', va='bottom')
ax2.set_ylim(0, 2)  # 반지름 범위 설정
ax2.legend()
 
# 그래프 보여주기
plt.tight_layout()
plt.show()

극좌표계의 구조

각도 축: 극좌표계에서tt 축(각도 축)은 원점을 기준으로 하는 방향을 나타냅니다. 각도는 일반적으로 반시계 방향으로 측정되며, 0에서 2π까지 변화합니다.
반지름 축: r 축(반지름)은 원점으로부터의 거리로, 특정 각도에 따라 뻗어 있습니다. 반지름은 원점에서 시작하여 외부로 나아가며, 주어진 각도 t에서의 반지름 r 값에 따라 점이 위치하게 됩니다.
동심원: 극좌표계는 다양한 반지름에 대해 중심이 같은 원을 그리는 "동심원" 형태로 되어 있습니다. 즉, 반지름 r의 값에 따라 같은 각도 t에서 원의 크기가 결정됩니다.

4. 비교

직교좌표계에서는 x축과 y축이 수직으로 만나며, 각 축이 서로의 기준을 이루는 데 반해,
극좌표계에서는 각도와 반지름이 서로 독립적인 성질을 가지며, 각도는 방향을, 반지름은 거리를 나타내게 됩니다.

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세상의모든계산기 Lv. 25

계산기는 거들 뿐
혹은
계산기를 거들 뿐

- 세상의모든계산기 (*.40.137.167) 2024.10.27 19:00 #comment_51550
  
  참고 : BallPen.blog, 내 나이의 빛깔 - 극좌표계
  
  https://ballpen.blog/%EA%B7%B9%EC%A2%8C%ED%91%9C%EA%B3%84-polar-coordinate-system/
  
  0
  
  댓글
- 세상의모든계산기 (*.40.137.167) 2024.10.27 19:03 #comment_51553
  
  극좌표계에서의 면적 요소 $d A$
  
  1. 부채꼴 형상:
  - 극좌표계에서 $r$ 와 $θ$ 의 변화에 따라 만들어지는 면적 요소는 부채꼴의 형태를 가집니다. 그러나 이 부채꼴은 작아질수록 사각형에 가까워집니다.
  
  2. 사각형 근사:
  - 부채꼴의 끝부분이 작아질 때, 이를 사각형으로 근사할 수 있습니다. 이때 사각형의 한 변은 $d r$ (거리에 해당), 다른 변은 $r d θ$ (각도 변화에 따른 아크 길이에 해당)입니다.
  
  3. 면적 계산:
  - 따라서 미소 면적 요소는 다음과 같이 표현할 수 있습니다:
  $d A = r d r d θ$
  - 여기서 $r d θ$ 는 사각형의 한 변의 길이를 나타내고, $d r$ 는 나머지 변의 길이를 나타냅니다.
  - 즉, 사각형의 면적은 다음과 같이 계산할 수 있습니다:
  $d A \approx (r d θ) \cdot (d r) = r d r d θ$
  
  4. 순서 변경:
  - 이 면적 요소는 $d A = r d r d θ$ 로 쓸 수 있으며, 순서를 바꿔서도 쓸 수 있습니다. 예를 들어 $d A = r d r d θ$ 는 $d A = d r \cdot r d θ$ 와 같이 쓸 수 있습니다. 이는 곱셈의 교환 법칙에 따라 가능하며, 적분할 때에도 상관없이 사용됩니다.
  
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- 세상의모든계산기 (*.40.137.167) 2024.10.27 19:25 #comment_51559
  
  극좌표 함수의 형태로 나타나는 이중적분
  
  극좌표 함수에서 $d A = r d r d θ$ 형태로 나타낼 수 있는 이중적분 $\int \int f (r, θ) r d r d θ$ 는 면적을 계산하는 방식입니다.
  
  이 계산식에서 $r$ 과 $θ$ 의 변화에 따른 미소 면적의 총합으로 이해할 수 있습니다.
  
  이중적분의 의미
  
  1. 미소 면적의 총합:
  - 극좌표계에서 $d A$ 는 미소 면적 요소를 나타냅니다. $r$ 이 변화하고, $θ$ 도 변화할 때, 각 미소 면적 $d A$ 를 모두 합산하여 전체 면적을 구하는 것이 이중적분의 목적입니다.
  - 즉, $\int_{0}^{θ_{max}} \int_{0}^{r_{max}} f (r, θ) r d r d θ$ 와 같이 표현되는 이중적분은 각 $r$ 에 대한 함수 값 $f (r, θ)$ 와 면적 요소 $r d r$ 를 곱한 후, 이를 $θ$ 에 대해 적분하여 총 면적을 구하는 과정입니다.
  
  2. 변화에 따른 적분:
  - $r$ 와 $θ$ 가 각각의 구간에서 변화할 때, 그 변화에 따른 미소 면적을 구해 적분하는 것이므로, $t$ 의 총 변화(여기서는 $θ$ 로 표현됨)에 따른 미소 면적의 총합으로 볼 수 있습니다.
  
  결론
  
  결국, 극좌표에서의 이중적분은 각 점의 미소 면적 $d A$ 를 합산하여 전체 면적을 구하는 과정입니다.
  
  이때 $r d r d θ$ 는 면적 요소로 작용하며, 이는 각각의 $r$ 과 $θ$ 의 변화에 따른 총 면적을 반영합니다.
  
  따라서 $\int \int f (r, θ) r d r d θ$ 는 미소 면적의 총합으로 볼 수 있습니다. 잘 이해하셨습니다!
  
  0
  
  댓글

세상의모든계산기 (*.40.137.167) 2024.10.27 19:40 #comment_51562

이중적분 $\int_{0}^{2 π} \int_{0}^{\sin (t)} \sqrt{1 - r^{2}} \cdot r d r d t$ 에서 $t$ 의 변화에 따라 그래프의 변화를 연속적으로 보여주면

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.animation import FuncAnimation
 
# 설정
t_values = np.linspace(0, 2 * np.pi, 100)  # t의 변화 범위
 
# 그래프 초기화
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 8))
ax.set_xlim(-1.5, 1.5)
ax.set_ylim(-1.5, 1.5)
ax.set_aspect('equal')
ax.set_title('Area under the curve for varying $t$')
ax.set_xlabel('$x$')
ax.set_ylabel('$y$')
 
# 그래프에 사용할 점과 면적 표시
line_r, = ax.plot([], [], color='blue', label='$r(t) = \sin(t)$')
ax.legend()
 
# 면적 다각형 리스트
area_patches = []
total_area = 0  # 총 면적 초기화
area_text = ax.text(-1.4, 1.2, f'Total Area: {total_area:.2f}', fontsize=12)
 
# 애니메이션 업데이트 함수
def update(frame):
    global total_area  # 총 면적을 전역 변수로 설정
    t = t_values[frame]
    r = np.linspace(0, np.sin(t), 100)  # r 값 생성
    x = r * np.cos(t)  # x 좌표
    y = r * np.sin(t)  # y 좌표
 
    # 면적을 나타내는 다각형 생성
    area_patch = plt.Polygon(np.column_stack((x, y)), closed=True, color='lightblue', alpha=0.5)
    ax.add_patch(area_patch)  # 다각형 추가
    area_patches.append(area_patch)  # 면적 목록에 추가
 
    # 면적 계산 (부채꼴 면적 계산)
    segment_area = 0.5 * (np.sin(t) ** 2) * t  # t에 따른 면적
    total_area += segment_area  # 총 면적 업데이트
 
    # 선 업데이트
    line_r.set_data(np.array([0, x[-1]]), np.array([0, y[-1]]))
 
    # 면적 합계 텍스트 업데이트
    area_text.set_text(f'Total Area: {total_area:.2f}')
 
    return area_patches, line_r, area_text
 
# 애니메이션 생성
ani = FuncAnimation(fig, update, frames=len(t_values), blit=False, repeat=False)
 
# 진행 표시줄 추가
progress_ax = fig.add_axes([0.15, 0.1, 0.7, 0.05])  # 위치 조정
progress_bar = plt.barh([0], [0], color='gray', height=0.1)  # 진행 표시줄
progress_ax.set_xlim(0, len(t_values))
progress_ax.set_ylim(-0.5, 0.5)
progress_ax.axis('off')  # 축 숨기기
 
# 진행 표시줄 레이블 추가
start_label = progress_ax.text(-1, 0, 'Start: $t=0$', fontsize=10, ha='center')
end_label = progress_ax.text(len(t_values)+1, 0, 'End: $t=2\pi$', fontsize=10, ha='center')
 
# 애니메이션 프레임 업데이트
def update_progress(frame):
    progress_bar[0].set_width(frame)  # 진행 표시줄 업데이트
    return progress_bar
 
# 진행 표시줄 애니메이션
ani_progress = FuncAnimation(fig, update_progress, frames=len(t_values), blit=False, repeat=False)
 
plt.show()

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직교 좌표계 vs 극좌표계의 시각적 비교

1. 두 개의 극좌표 함수가 있습니다.

2. 직교좌표계에서 표시.

3. 극좌표계에서 표시

극좌표계의 구조

4. 비교

댓글 4

참고 : BallPen.blog, 내 나이의 빛깔 - 극좌표계

극좌표계에서의 면적 요소 $d A$

극좌표 함수의 형태로 나타나는 이중적분

이중적분의 의미

결론

이중적분 $\int_{0}^{2 π} \int_{0}^{\sin (t)} \sqrt{1 - r^{2}} \cdot r d r d t$ 에서 $t$ 의 변화에 따라 그래프의 변화를 연속적으로 보여주면

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1. 두 개의 극좌표 함수가 있습니다.

2. 직교좌표계에서 표시.

3. 극좌표계에서 표시

극좌표계의 구조

4. 비교

댓글 4

참고 : BallPen.blog, 내 나이의 빛깔 - 극좌표계

극좌표계에서의 면적 요소 dA

극좌표 함수의 형태로 나타나는 이중적분

이중적분의 의미

결론

이중적분 ∫02π∫0sin⁡(t)1−r2⋅rdrdt에서 t의 변화에 따라 그래프의 변화를 연속적으로 보여주면

극좌표계에서의 면적 요소 $d A$

이중적분 $\int_{0}^{2 π} \int_{0}^{\sin (t)} \sqrt{1 - r^{2}} \cdot r d r d t$ 에서 $t$ 의 변화에 따라 그래프의 변화를 연속적으로 보여주면