미분방정식 - 1st order 선형 상수 계수 미분 방정식
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- 2024.07.16 - 23:35 2024.07.16 - 19:26 169 1
함수 \( y' = k \cdot y \)를 구하는 방법을 설명하겠습니다.
이 미분 방정식은 첫 번째 차수의 선형 상수 계수 미분 방정식입니다. 이를 해결하기 위해 우리는 변수 분리법을 사용할 수 있습니다.
1. 미분 방정식을 다시 씁니다:
\[
\frac{dy}{dt} = k \cdot y
\]
2. 변수 분리:
양변을 \( y \)와 관련된 항과 \( t \)와 관련된 항으로 나눕니다.
\[
\frac{dy}{y} = k \cdot dt
\]
3. 적분:
양변을 적분합니다.
\[
\int \frac{1}{y} \, dy = \int k \, dt
\]
4. 적분 결과:
왼쪽은 자연 로그가 되고, 오른쪽은 상수 \( k \)와 \( t \)의 적분입니다.
\[
\ln |y| = kt + C
\]
여기서 \( C \)는 적분 상수입니다.
5. 양변에 지수 함수 적용:
\( y \)를 구하기 위해 양변에 지수 함수를 적용합니다.
\[
e^{\ln |y|} = e^{kt + C}
\]
따라서,
\[
|y| = e^{kt + C}
\]
6. 상수 \( C \) 처리:
\( e^{kt + C} = e^{kt} \cdot e^C \)이므로, \( e^C \)를 새로운 상수 \( A \)로 둡니다. 즉, \( A = e^C \)입니다.
\[
|y| = A e^{kt}
\]
여기서 \( A \)는 임의의 상수입니다. 절대값을 없애기 위해, \( y \)가 양수이거나 음수일 수 있으므로,
\[
y = A e^{kt}
\]
여기서 \( A \)는 양수 또는 음수 모두 가능합니다.
결과적으로, 주어진 미분 방정식 \( y' = k \cdot y \)의 해는:
\[
y = A e^{kt}
\]
여기서 \( A \)는 초기 조건에 따라 결정되는 상수입니다.
반감기가 있는 물질에서 미분 방정식 \( y' = k \cdot y \)가 성립하는 이유
반감기가 있는 물질에서 미분 방정식 \( y' = k \cdot y \)가 성립하는 이유는, 이러한 물질의 붕괴가 시간에 따라 지수 함수적으로 이루어지기 때문입니다. 이를 더 자세히 설명하면 다음과 같습니다.
1. 반감기와 지수 함수적 붕괴
반감기(T)는 어떤 물질의 양이 절반으로 줄어드는 데 걸리는 시간을 의미합니다. 물질이 시간이 지남에 따라 지수 함수적으로 감소한다는 것은, 물질의 양이 일정한 비율로 감소한다는 것을 의미합니다. 즉, 시간이 일정 기간 \( T \)마다 물질의 양이 절반으로 줄어드는 특성을 보입니다.
2. 지수 함수적 감소 모델
이러한 물질의 양 \( y \)가 시간 \( t \)에 따라 감소하는 것을 모델링하기 위해서는 지수 함수적 감소를 이용합니다. 일반적으로 물질의 양 \( y \)는 다음과 같이 표현할 수 있습니다:
\[
y(t) = y_0 e^{kt}
\]
여기서:
- \( y_0 \)는 초기 물질의 양 (t=0일 때의 양)
- \( k \)는 붕괴 상수로, 이 상수는 음수입니다 (감소하므로).
3. 미분 방정식 유도
지수 함수적 모델을 사용하면, 양 \( y \)의 변화율(즉, 시간에 따른 감소율)은 현재 양 \( y \)에 비례합니다. 이를 수학적으로 표현하면 다음과 같은 미분 방정식을 얻을 수 있습니다:
\[
y' = \frac{dy}{dt} = k \cdot y
\]
여기서 \( y' \)는 물질의 시간에 따른 변화율, \( k \)는 비례 상수입니다.
4. 반감기와 붕괴 상수 \( k \)의 관계
반감기 \( T \)와 붕괴 상수 \( k \)는 다음과 같은 관계를 가집니다:
\[
y(T) = \frac{y_0}{2} = y_0 e^{kT}
\]
이 식에서 \( y(T) \)가 초기 양의 절반임을 이용하여 다음과 같이 풀면:
\[
\frac{1}{2} = e^{kT}
\]
양변에 자연 로그를 취하면:
\[
\ln \left( \frac{1}{2} \right) = kT
\]
즉,
\[
k = \frac{\ln \left( \frac{1}{2} \right)}{T} = -\frac{\ln 2}{T}
\]
따라서, 붕괴 상수 \( k \)는 반감기 \( T \)에 따라 음수로 결정됩니다.
* 결론 *
반감기가 있는 물질은 시간이 지남에 따라 지수 함수적으로 감소하므로, 물질의 양 \( y \)와 그 변화율 \( y' \) 간의 관계를 나타내는 미분 방정식은 \( y' = k \cdot y \)의 형태가 됩니다. 이 방정식은 물질의 감소율이 현재 양에 비례함을 의미하며, 반감기 특성을 잘 설명해줍니다.